数学慢教育的思考与实践

蔡小庆

[摘  要] 全程思维的价值在数学慢教育的课堂背景下能令认知迁移的概括性关系特征在元认知监控下得以顺应，使批判性特征的元认知调节行为得以实现. 教师在具体教学中应引导学生在信息加工时对研究对象进行分析与综合、判断与推理、应用与迁移并获得学习的成功.

[关键词] 数学教学;慢教育;全程思维;迁移

1. 全程思维的内涵

全程思维中的“全”就是“完备”，“程”就是“过程”，“全”和“程”实质上就是事物变化与发展经过的集中指向. 个体对感知记忆的信息进行加工而获得信息的过程就是从信息加工这一角度对思维做出的解释. 全程思维在数学慢教育的环境下就是学生在信息加工中对研究对象进行分析与综合、判断与推理、应用与迁移的过程，这一认识活动的全过程必须建立在学生经历表象与概念的基础之上才能顺利达成.

具备“完备性”特征的全程思维包含前概念系统、主概念系统、后概念系统等多种系统产生的具体内容，同时具备“过程性”特征的全程思维又包含了陈述化加工、程序化加工、迁移化加工等多个内容. 陈述化加工这一前概念行为实际上反映着理解概念的工具性特征，程序化加工这一主概念行为实际上反映着理解概念的概念性特征，而迁移化加工这一后概念行为实际上反映着理解概念的关系性特征.

以统整教材为中介，整体思维范式将思维的系统性彰显得尤为突出;以方案比较为平台的曲线思维范式将思维的批判性彰显得尤为明显;以问题加工为载体的全程思维范式则将思维的关系性特征显露无余. 全程思维的启动才能令概念的理解从工具性理解顺利到达关系性理解，学生也才会真正把握数学对象的本质并获得独到的认知与理解.

2. 全程思维的价值

全程思维的价值在数学慢教育的课堂背景下并不仅仅局限在思维过程性与完备性特征的凸显上，更加重要的是经验的概括性与批判性特征的凸显. 元认知思维正是以这些思维特征为起点的，这对于创造意识的萌芽来说具有里程碑式的意义. 具体来讲，全程思维具备如下作用：

（1）认知迁移的概括性关系特征在元认知监控下得以顺应.

“反问”监控实际上是对“正在做什么”“为什么这么做”“还应做什么”等思维关系特征进行外在的刻画. 作为学生元认知思维心理表现的“反问”与“回答”必然需要一定的监控与概括. 学生自觉回答这一概括顺应性迁移的思维过程实质上正是认知迁移概括性关系特征的反映. 顺应性迁移就是个体在新情境中根据学习需要调整已有经验并因此形成的更高一级的认知结构，这种新旧经验上的概括也正是对外界变化的适应. 比如，“图形的位似”就是在概括“图形相似”这一基础性内容上所实现的顺应性迁移. 图形变换的相似其实只是“形”这一层面上特征的揭示，位似却是图形变化在“形状”“位置”这两个维度上进行的特征的揭示，“位似图形”显而易见是这一内容体系中更高一级的概念.

（2）遵循经验改造批判性特征的元认知调节行为得以实现.

以“逆向思维”形式呈现的逆向调节在元认知调节的各个环节中是尤为关键的，对“正反例证”内部逻辑关系进行批判和权衡的这一环节实质上就是知识重组性迁移的过程. 回问调节“为何是这样”“为何不那样”“可有更好的途径”等过程实质上是方法选择、思想统整、经验调节等元认知调节价值的揭示，这些正向迁移关系特征的揭示正是原有认知系统中某些成分或构成要素之间关系的调整或新联系的建立. 比如，变式教学就是借助基本经验成分将各成分进行改造或重组并使各成分之间的结合关系发生变化的过程，变式背景下的调节性迁移在批判性思维的参与下才实现了重新组合.

数学概念、原理、规律等创造的过程实质上就是从无到有、从不理解到理解这一过程的建立. 因此，教师应遵循学生的心理与认知发展规律设计出从无到有的情境，并促使学生对数学概念、原理、规律形成的原因与背景建立认知与理解，运用过渡性语言引领学生在从无到有的两个环节中顺利拾级而上.

分析  学生在线段、射线的数法上进行了积极有效的探究，掌握情况良好，教师在这一过程中所运用的过渡语起到了相当关键的引领作用. 不过，对学习目标进行分析却不难发现，过渡性语言设计的指向目标和学习目标并不吻合，这也使得教学与实际目标之间产生了较大的距离，学生的思维重心也发生了偏差.

字母表示线段、射线、直线的方法是学生之前并没有接触过的知识，教师在这一新认知中怎样营造思考的转折点并诱发生长点是这一过程中最为关键的. 过渡性语言的设计与有效运用能够起到很好的作用，不过也有需要注意的地方.

（1）愉悦性. 学生在愉悦的情境中更易产生学习的内驱力，因此，教师在过渡性语言的设计时应考虑其鲜明性与生动性，使学生能够在生动愉悦的环境中进入思维的高潮并因此顺利达成学习的预设目标.

（2）阶梯性. 教师在具体教学中应将各环节的阶梯性体现出来，学生往往会在前一个环节获得的知识与经验的基础上展开后续的研究与讨论. 本案例中字母表示三种线的方法的探究就必须在前一阶段认知信息作用的基础之上，因此，教师应明确各环节的任务并逐层引导学生的思维往更高层面发展.

（3）目的性. 学生在明确认知、辨别三种线的图形特征之时也就具备了分析图4中问题的能力，根据其中的特征进行辨析能使学生对用字母表示线的方法掌握得更加牢固.

2. 优化设计

（图1～图4的问题解决之后）

师：很好，现在大家都知道了图4中共有线段6条、射线8条，那么，线段与射线分别有哪些呢？

（引导学生一边思考一边相互讨论并归纳方法）

生1：由一个点向左或向右射线即为我们今天所学的射线，其他的表示与此相同.

生2：第1、第2个点之间构成了线段，第1、第3个点之间构成了线段……

师：大家觉得这样表示线段与射线的方法好不好？

生（齐）：挺麻烦的.

师：那么究竟应该如何更好地区分呢？

生3：就像我们每个人都有名字一样，帮它们取名字吧，应该就容易区分了.

生4：很好的主意，不過应该如何取名呢？

……

优化设计中的“有哪些线段与射线”这一问题实际上是引导学生对三种线进行再认识的过程，学生能够在已有知识与经验的基础上产生解决这一问题的动力. “如何更好地区分”这一问题实际上是引导学生思考如何运用字母来表示这三种线. 从无到有的案例设计令学生在一步步思考与讨论中实现了本课主要内容的学习，数学慢教育全程思维的实质也在这一实际教学案例中得到了完整的体现.