关注分组分配，处理计数问题

2019-06-22安徽省淮南市第十四中学张忠孝

中学数学杂志 2019年11期

☉安徽省淮南市第十四中学张忠孝

计数中的分组分配问题一直是排列组合中的一个重点与难点，是计数原理中的典型问题之一，也是排列、组合综合运用的充分体现.由于分组分配问题的种类繁多、条件各异，涉及完全非均匀分组、整体均匀分组、部分均匀分组以及编号分组等情况，同时又涉及分组后的元素是否有序等问题，因此在解答实际问题时非常容易混淆，导致错误.

一、完全非均匀分组

所谓“完全非均匀分组”，就是将问题中的所有元素分成彼此元素个数互不相等的组.解决此类问题时只需直接分组即可达到目的.

例17人参加志愿者活动，按下列不同方法分组各有多少种不同的分法？

（1）分成3组，各组人数分别为1人、2人、4人；

（2）选出5个人分成2组，其中一组2人，另一组3人.

解析：（1）先从7人中选出1人，有种，再由剩下的6人中选出2人，有种，最后由剩下的4人为一组，有种.

也可“先选后分”：先选出5人，再分为两组，由分步乘法计数原理得分组方法共有

点评：解决此类“完全非均匀分组”问题时，由于分组的不等分与组合数的相乘不产生矛盾，不会出现重复计数的问题，因此只要分开就可以直接达到完全非均匀分组的目的，无须考虑重复问题.

二、均匀分组

所谓“均匀分组”，就是将问题中的所有元素分成所有组元素个数相等或部分组元素个数相等的组.解决此类问题时要先分组，再除以Amm或m！（m为均匀分组的组数）.特别注意，在均匀分组的过程中，一个分组过程中有几个这样的均匀分组，就在确定的计数的基础上再除以几个这样的全排列数.

1.整体均匀分组

例2将9名大学生志愿者安排在星期五、星期六、星期日3天参加社区公益活动，每天分别安排3人，每人参加一次，则不同的安排方案共有______种.（用数字作答）

解析：先选出3人，有种，再由剩下的6人中选出3人，有种，最后由剩下的3人为一组，有种.

点评：对于“整体均匀分组”问题，解题过程中要注意均匀分组后，不管元素之间的顺序如何，都只能看作一种情况，因而整体均匀分组后一定要除以均匀分组的组数所对应的全排列数Amm或m！（m为均匀分组的组数），避免产生重复计数的情况.

2.部分均匀分组

例3 10个人参加义务劳动，分成4组，各组分别为2人、2人、2人、4人，则不同的分组方案共有______种.（用数字作答）

解析：由于分成2人、2人、2人、4人的四个组对应的种数分别为，由分步乘法计数原理以及只能算一种不同的分组方法，可得不同的分组方3150（种），故填3150.

点评：对于“部分均匀分组”问题，只需考虑由于部分均匀分组中的无序与组合数相乘中产生的顺序而导致的重复问题.在部分均匀分组中，如果有m个分组的元素是均匀的，都有对应的全排列数或m！种顺序不同的排法只能算作一种分法，因而要除以该代数式.

三、编号分组

所谓“编号分组”是指将所有元素先进行分组，分组之后各组要担任不同的工作或有不同的分工.解决此类问题时要先进行正确的分组，再乘以组数的全排列即可.

1.非均匀编号分组

例4若将6名西部地区的优秀大学毕业生分到3个不同的国家机关实习，一个机关1名，一个机关2名，一个机关3名，则有______种不同的分法.（用数字作答）

解析：将6名西部地区的优秀大学毕业生分组，分三步完成：

第1步，在6名西部地区的优秀大学毕业生中任取1名作为一组，有种取法；

第2步，在余下的5名西部地区的优秀大学毕业生中任取2名作为一组，有种取法；

再将这3组西部地区的优秀大学毕业生分配到3个不同的国家机关，有种分法.

点评：对于“非均匀编号分组”问题，由于分组后各组要担任不同的工作或有不同的分工，先要正确分开即可达到分组的目的，再通过将不编号的组变为编号的组，乘以组数的全排列即可达到重新分配的目的.

2.部分均匀编号分组

例5 若甲、乙、丙等5名同学分别被保送到北京大学、清华大学、复旦大学三所大学就读，若要求每所大学至少有一名保送生，则不同的保送方法种数有（）.

A.240 B.180 C.150 D.540

解析：本题可以理解为5个元素分为3组，故有1，1，3或1，2，2两种分组情况，分组后再确定不同的大学，属于“部分均匀编号分组”问题.

由题意可知，5名同学可分为1，1，3或1，2，2两种分组情况，故不同的保送方法种数有，故选C.

点评：解决此类“部分均匀编号分组”问题时，先要进行正确的分组，特别注意解题过程中重复的次数是部分均匀分组的阶乘数，即有m组的元素个数相等，则分组时就应该除以对应的全排列数Amm或m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组，在确定的计数的基础上就要除以几个这样的全排列数；再在正确分组的基础上进行编号分组.