对2018年一道高考数学文化试题的评析

北京市首都师范大学数学科学学院(100048) 覃 淋

四川省简阳市简阳中学(641400) 李秀萍

近年来,随着人们对数学的认识不断深化提高,越来越认同“数学是人类文化的重要组成部分”这一观点,引发了关于数学文化的研究的热潮.2018年颁布的《普通高中数学课程标准(2017)》从课程性质、基本理念、课程目标、实施建议等方面对“数学文化”作了进一步的要求:强调要将数学文化融入到数学教学活动中.通过在教学中渗透数学文化,让学生了解数学的发展历程,认识数学在科学技术和人类社会发展中所起的重要作用,引导学生认识和感悟数学的文化价值,树立文化自信、提升人文素养以及数学核心素养[1].

数学文化是数学史、数学与文化学、社会学的交叉学科,很好地体现了数学的科学价值、人文价值以及社会价值[2].近年来,全国各地高考数学试卷中都有基于数学文化命制的试题,主要体现在数学史、数学精神和数学应用三个方面[3].数学文化作为数学的重要组成部分,对学生的数学核心素养的培养起着重要作用.所谓数学文化试题,和一般数学试题不同的是,这类试题中融入了与数学文化相关的内容,比如数学的思想、精神、方法以及数学家、数学史、数学美、数学的产生和发展过程中的人文成分、数学与社会及其它文化的联系等等,具有人文性、趣味性和科学性等特点.从试题中数学文化内容的呈现方式来看,可以分为显性和隐性两大类,在以显性方式呈现数学文化的试题中,数学文化的体现非常明显,如2015年全国卷I理科第6题直接以《九章算术》中的题目设问;再如2018年浙江卷第11题直接以《张丘建算经》中“百钱百鸡”设置题目.在以隐性方式呈现数学文化的试题中,数学文化的体现并不十分明显,需要深入挖掘,如2012年上海卷文科第14题,题目中涉及了函数不动点、黄金分割和斐波拉契数列等数学文化,但隐藏很深,不深入挖掘,就很难发现试题蕴含的深厚文化底蕴[3].再如2015年湖北卷理科第22题,题目中涉及了卡尔勒曼(Carleman)不等式、数学归纳法、超越数e等数学知识,还涉及了转换化归等数学思想方法.从数学问题解决的角度来看,这类试题的难度一般不是很大,只要学生能够读懂题干所表述的含义,基本上就可以正确地解答问题.但这类试题具有其它一般数学试题难以比拟的文化价值、教育价值以及科学价值,数学文化试题的意义和价值超越了试题本身.

以数学文化为背景的数学试题,可以极大的激发学生的学习兴趣,使学生感受数学知识浓厚的历史文化底蕴,同时引导学生认识和感悟数学的文化价值.考试作为指挥棒,将数学文化融入到高考数学试题中,能够进一步发挥数学文化的教育价值、体现数学的文化价值和社会价值,促进数学教育工作者和相关专家对数学文化的学习和研究.以数学文化作为试题背景已成为高考数学命题的新亮点、新趋势.比如:2013年湖北卷理科第12题以角谷猜想为背景考查程序框图,2014年陕西卷理科第14题以欧拉定理为背景设置题目,2015年全国卷II理科第8题以《九章算术》中“更相减损术”为背景考查程序框图,2016年全国卷II文科第9题以“秦九韶算法”考查程序框图,2017年全国卷II理科第3题以我国明代程大位的数学著作《算法统宗》中的古算诗题为素材考查等比数列求和公式.

《2018年普通高等学校招生全国统一考试大纲》(下称《考试大纲》)在“个性品质要求”中提到:“要求考生具有一定的数学视野,认识数学的科学价值和人文价值,崇尚数学的理性精神,形成审慎的思维习惯,体会数学的美学意义.”在这些背景下,2018年高考坚持“立德树人”和“文化育人”的基本理念,出现了许多优秀的数学文化试题:全国卷I理科第10题以希波克拉底定理为背景考查几何概型,北京卷文科第5题以“十二平均律”为背景考查等比数列通项公式,浙江卷第21题以阿基米德的名著《抛物线图形求积方法》(Quadrature of the Parabola)中的相关命题为背景设置题目,上海卷第15题以《九章算术》中的“阳马”概念考查空间点线面的位置关系等.本文从试题背景、解法等角度对2018年浙江卷第21题进行赏析,对其命题特点进行分析,为以后命题者编制出更加新颖的试题提供启发.

1.试题呈现

题目(2018年高考浙江卷第21题)如图1,已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点,抛物线C:y2=4x上存在不同的两点A,B满足PA,PB的中点均在C上.

(I)设AB中点为M,证明:PM垂直于y轴;

图1

(II)若P是半椭圆(x＜0)上的动点,求三角形PAB面积的取值范围.

2.试题背景

此题以阿基米德的《阿基米德方法》(The Method of Archimedes)和《抛物线图形求积方法》(Quadrature of the Parabola)中的相关内容为背景,进行改编和重构,设置了新的题目.考查直线与抛物线的位置关系、函数最值、弦中点以及三角形面积公式等知识,综合地考查了学生分析和解决问题的能力.同时考查数学建模、逻辑推理等数学学科核心素养.

《阿基米德方法》实际上是阿基米德的一封信,在上个世纪初被发现,后来被冠以《阿基米德方法》发表出来.1906年,海贝格(J.L.Heiberg,1854-1928)在土耳其君士坦丁堡(伊斯坦布尔)发现一块羊皮纸,上面存有字迹,经过仔细辨认,发现竟然是阿基米德的著作,经过不懈努力,使得这些文字重见天日.其中包括《论球与圆柱》、《圆的度量》以及《平面图形的平衡或其重心》和《论浮体》的一部分,还有就是现今被称为《阿基米德方法》这部分内容,这是阿基米德写给数学家埃拉托塞尼(Eratosthenes,公元前276-前194)的信,这一发现是数学史上的重大发现.

《阿基米德方法》中共有15个命题,包括阿基米德计算许多面积和体积的方法、技巧等,更为重要的是,这里面的结果大都给出了比较严格的证明.在信开头就说明了信的主要内容.这些方法的主要特点是将要计算一个未知量(图形的面积或体积),先将其进行分割,再与已知图形(这个已知图形面积必须是比较容易计算的)对应进行比较.利用杠杆原理,使它们在杠杆上保持平衡.这实质上是积分法的基本思想.阿基米德特别声明这种方法并不是严格证明,在《方法》的序言中写道:“这些定理将来必须用几何方法加以证明,因为以上方法不算真正意义上的证明.”

图2

这里问题的背景是《方法》中的命题1:抛物弓形的面积是其内接三角形面积的.如图2,抛物弓形是指由抛物线ABC和直线AC围成的图形,B为弓形的定点,是过AC的中点与抛物线轴平行的直线和抛物线的交点.在抛物线上,B点到AC的距离最大.已知抛物线ABC及其顶点B,过点C作抛物线的一条切线与BD交于点E,再过点A作平行于DE的直线与切线交于点F,延长CB交AF于点K,再延长到点H,使得CK=KH.阿基米德的想法是把CH作为以K为中点的杠杆,证明图中的三角形CFA与放在点H的抛物弓形保持平衡.基本思路如下:先在三角形CAF中任意作平行于ED的线段MO,再证MO与放在点H的抛物弓形中的线段PO平衡.要证明二者平衡,须用到抛物线的两个性质,即EB=BD和MO:PO=CA:AO(显然阿基米德对抛物线的基本性质十分熟悉).因为EB=BD,所以FK=KA,MN=NO,又因为K是AF的中点,由《原本》卷6命题2可知,MO:PO=CA:AO=CK:KN=HK:KN.若把与PO相等的线段TG置于其中心H点,则有MO:TG=HK:KN.由于点N是MO的重心,那么由杠杆原理可知MO与TG以K为支点保持平衡.阿基米德接着写道[4],“因为三角形CFA由所有像MO这样的平行线段组成,而抛物弓形CBA由所有像PO一样含于曲线内部的线段组成,因而图中的三角形与重心放在点H的抛物弓形关于支点K保持平衡.”阿基米德推出三角形ACF:抛物弓形ABC=HK:KW=3:1,即抛物弓形三角形ACF,又因为三角形ACF=4倍三角形ABC,所以抛物弓形三角形ABC.在命题最后,阿基米德强调[5]:“这里所陈述的事实不能以上面的过程作为真正的证明,但这一过程却暗示了结论的正确性.鉴于该命题并未得到严格证明,同时其真实性又值得怀疑,因此我们将求助于几何学上的证明,我本人已经发现并公布了这一证明.”

图3

而后在《抛物线图形求积方法》中明确给出了抛物弓形面积结果的几何证明.其证明思想是利用欧多克斯的穷竭法,即通过在弓形内部作一系列的多边形去逼近弓形,使得弓形的面积与内接多边形的面积之差小于任一给定值,最后用归谬法证明.如图3,先在弓形内部作一个三角形PQQ′,点P把弓形分为PRQ和PR′Q′两部分,再作三角形PRQ和三角形PR′Q′,这两个三角形把弓形分为四个部分,按此可以继续类推下去.

阿基米德计算出每次作出的所有三角形的面积之和是前一次作出的所有三角形面积和的,所作次数越多,这些三角形的面积和也就越接近弓形的面积.为了完成这一证明,需要计算几何级数的和,这里a为三角形PQQ′的面积,然后阿基米德直接利用了这一结论.再用归谬法(reductio ad absurdum)给出了证明.

3.试题解法

对任意一道数学题,都会有多种不同的解法.这是因为不同的人有其不同的知识经验.学习者在问题解决的过程中,都会以已有的经验为基础,每一形式的表征依赖于个体不同的知识经验,由此可能引出不同的问题解决策略,产生不同的解法[6].从不同角度来思考同一问题,可以培养学生的思维的灵活性和问题解决策略的多样性.

(I)证明

方法1设P(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),则线段AP的中点C的坐标为,代人抛物线方程得到,化为关于y1的二次方程,得.由于y1,y2是方程的根,根据根与系数的关系,我们有y1+y2=2y0,此即y0=yM,从而PM垂直于y轴.

方法2设线段PA的中点为E,线段PB的中点为F,连接EF,设线段EF的中点为K,那么易知,P、K、M三点共线.当AB不垂直于x轴时,线段AB的斜率,线段EF的斜率为,由AB//EF,知yM=yK,从而PM垂直于y轴.当AB垂直于x轴时,知三角形PAB为等腰三角形,并且AB与y轴平行,又M为AB的中点,那么PM⊥AB,从而PM垂直于y轴.

(II)解法1由(I)得,,所以.那么

解法2设直线方程为x=ty+k,联立抛物线方程,可得y2-4ty-4k=0,因为y1+y2=2y0,,那么,所以

4.结束语

通过以上分析,我们可以发现命题者在将数学文化融入高考数学试题的过程中,改变了以往单纯的知识性考查.这样可以让学生了解到数学富于人文性的一面,数学并不是枯燥无聊的.同时,在教学中,教师和学生都应明白,数学文化很重要,并不是因为高考要考查才显得重要;不管是从学生学习的角度来看,还是从教师教学的角度来看,或是数学本身而言,数学文化都是非常重要的.从学生学习数学的角度,数学文化可以让学生形成正确的数学观念,有助于学生理解数学的本质.从教师教学的角度来看,教师应充分利用教材中涉及到的数学文化,在课堂上也应将数学知识中所蕴含的数学文化在无形之中渗透到教学的过程中.

同时,数学文化作为数学科学的有机组成部分,高考试题在渗透数学文化时,更应注意与相关数学知识有机结合,注重体现数学理性思维的内涵,可以通过创设新的问题情境、选取合适的数学文化内容等多种方式渗透数学文化.