例析有效增设在高考数学解题中的应用*

江苏省扬州大学数学科学学院(225002) 黄 欢 濮安山

在数学解题中,常常通过增加个别条件不改变原来题意的情况下,令问题易于求解,这就是有效增设解题策略.在高考数学解题中,有效增设发挥着至关重要的作用.下面就以历年高考题为基础,分析有效增设在高考题中的具体应用.

一、进退互化产生归纳增设

数学归纳法加强命题主要有两种情况,一种是将有限项的命题加强为无限项的命题;一种是证明更强的命题.例题1就是第二种情况.用数学归纳法证明更强的命题主要的困难在于第二步假设n=k时命题成立,因为更强的命题具有更强的归纳假设的性质,所以更强的命题便会产生有效增设.

例1(2014年高考江苏卷第23题)已知函数f0(x)=,设fn(x)为fn-1(x)的导数,.

解(1)略;(2)由已知,得xf0(x)=sinx,等式两边分别对x求导,得,即,类似可得.下面用数学归纳法证明等式对所有的都成立.

①当n=1时,由上可知等式成立.

②假设当n=k时等式成立(有效增设),即

因此当n=k+1时,等式也成立.结合①②③可知等式对所有的都成立.再令,可得.

评析本题难度较大,步骤②为证明产生归纳的有效增设,加强了命题,使得后续可以运用数学归纳法实施证明.

二、化隐为显产生有效增设

隐含条件是指题目中已包含但没有明确给出的条件.例如,若题目是关于求解三角形的,那就意味着其同时隐藏着三角形的三条边或边与角的关系,即两边之和大于第三边,两边之差小于第三边;大边对大角;小边对小角等.

例2(2015年高考江苏卷第10题)在平面直角坐标系xOy,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为___.

解由直线方程mx-y-2m-1=0可以得到方程另一表达形式m(x-2)-(y+1)=0(有效增设),故直线恒过点(2,-1),当切线与过两点(1,0),(2,-1)的直线垂直时,圆的半径最大,此时有,故所求的圆的标准方程为(x-1)2+y2=2.

评析本题通过发现直线方程式中的隐含条件,即方程式的另一表达形式m(x-2)-(y+1)=0,得到直线恒过点(2,-1)的有效信息.

三、分类讨论产生分类增设

当一个数学问题较为复杂时,可以通过将其分成几类分别求解,或者分成几个步骤逐一求解.从有效增设的角度来看,将较难的数学问题转化成几个小问题,其中的分类标准作为可借鉴的已知条件,使得比原问题更简单的小问题由此更加容易求解.

例3(2017年高考江苏卷第14题)设f(x)是定义在上且周期为1的函数,在区间[0,1)上,f(x)=其中集合则方程f(x)-lgx=0的解的个数是____.

解首先f(x)∈[0,1),所以方程f(x)=lgx的解x0∈[1,10).由图1可知,在[9,10)上方程无解,方程在[1,9)上的整数解只有x=1,再按x-k∈D和x-k∈/D两种情况(有效增设),讨论f(x)=lgx在(k,k+1)上的解,其中k=1,2,···,8.

①若x-k∈D,且x∈(k,k+1),其中k=1,2,···,8,设且n≥2.则方程为,即,这样的n不存在.

②若x-k∈/D,且x∈(k,k+1),其中k=1,2,···,8,则方程为x-k=lgx,记g(x)=x-lgx-k,则,所以g(x)在(k,k+1)上递增.因为g(k)=-lgk,g(k+1)=1-lg(k+1)＞0,所以在(1,2)内无解,当k=2,···,8时,在x∈(k,k+1)内各恰有一解,共有7解.与①类似,可证这些解都是无理数,从而满足x-k∈/D.

综上所述,方程共有8解.

图1

评析本题通过引用参数k,区分x-k∈D和x-k∈/D两种情况,不仅可以使原问题一分为二多了两个已知条件,还变得更加有条理,很大程度上有利于题目的求解.

四、引参设元产生辅助增设

辅助参数的引进使得原题中复杂的关系或结构得以改善,让难题的关系及结构成分更加单纯,同时增加参与运算的关系或数式,产生一个动态的运算过程,为运动观点、参数方法的运用创造了机会.

例4(2018年高考江苏卷第14题)已知集合A=.将A∪B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{an}.记Sn为数列{an}的前n项和,则使得Sn＞12an+1成立的n的最小值为___.

解设an=2k,(有效增设),则an-1=2k-1,an+1=2k+1.所以Sn=[1+3+···+(2·2k-1-1)]+(2+22+···+2k)=(2k-1)2+2k+1-2,其中n=2k-1+k,令Sn＞12an+1,则(2k-1)2+2k+1-2＞12(2k+1),解得.因此,满足条件的n应使得k取5～6之间.k=5时,n=21,S21=28+26-2=318＜12a22,k=6时,n=38,S38=210+27-2=1150＞12a39=12×65=780,应用二分法,取n=29,则S29=S21+33+35+37+39+41+43+45+47=638,a30=49,满足条件;取n=28,则S28=S21+33+35+37+39+41+43+45=591,a29=47,满足条件;取n=27,则S27=S21+33+35+37+39+41+43=546,a28=45,满足条件;取n=26,则S26=S21+33+35+37+39+41=503,a27=43,不满足条件,故满足条件的最小n=27.

评析本题根据已知条件,引用参数k,假设an=2k,再通过对参数的取值进行讨论,巧妙求解得出答案.

五、构造函数产生性质增设

函数反映了客观世界中运动与实际的量之间相互关联的依存关系,可为研究方程提供新的理解思路,它描述刻画问题本身的数量特征及制约关系,因此恰当构造函数可以达到妙用函数性质的目的.构造函数实质上也是解题所需要的有效增设,是解数学题的关键所在.

例5(2018年高考江苏卷第19题)记f′(x),g′(x)分别为函数f(x),g(x)的导函数.若存在,满足f(x0)=g(x0)且f′(x0)=g′(x0),则称x0为函数f(x)与g(x)的一个“S点”.

(1)略;(2)略;(3)已知函数f(x)=-x2+a,g(x)=.对任意a＞0,判断是否存在b＞0,使函数f(x)与g(x)在区间(0,+∞)内存在“S点”,并说明理由.

解(3)对任意a＞0,设h(x)=x3-3x2-ax+a(有效增设).因为h(0)=a＞0,h(1)=1-3-a+a=-2＜0,且h(x)的图像是不间断的,所以存在x0∈(0,1)使得h(x0)=0.令,则b＞0.函数f(x)=由f(x)=g(x)且f′(x)=g′(x),得,即

此时,x0满足方程组(*),即x0是函数f(x)与g(x)在区间(0,1)内存在“S点”,因此,对任意a＞0,存在b＞0,使函数f(x)与g(x)在区间(0,+∞)内存在“S点”.

评析利用有效增设解题策略通过构造函数解决问题是比较困难的,因为它需要解题者具有优秀的逻辑思维.本题通过对函数性质的发现,增设符合题目要求的函数,巧妙且有难度.

六、优化假设产生优化增设

优化假设是指对题目中已知条件中的数学对象(如点、线段、角等)进行有序化或最优量的假定.有序化通常是指数的大小、点的顺序或某种位置规则等;而最优量的通常是指最大或最小、最长或最短、最远或最近等.对数学对象进行有序化或最优量的假定实际上也时一种有效增设,因为它给题目增加了一个已知条件,有利于降低问题的抽象度与难度.

例6(2018年高考全国卷I理科第21题)已知函数.

(1)略;(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,证明:.

解(2)由(1)知,f(x)存在两个极值点当且仅当a＞2.由于f(x)的两个极值点x1,x2满足x2-ax+1=0,所以x1x2=1,不妨设x1＜x2(有效增设),则x2＞1.由

评析根据恰当的条件依据,对极值点进行大小假设,不仅不影响原题意,还对未知量做了有效增设,排除了不必要的干扰.

上述方法在高考中应用频繁,作用广泛,有时候各个方法也会综合应用到一个高考题中,如例3综合运用了分类讨论和引用辅助参数两种有效增设.在解题中,灵活运用解题策略并结合类比等解题技巧是高考数学取得理想成绩的关键所在.

巩固练习1.(构造函数)(2016年高考全国卷I理科第8题)若a＞b＞1,0＜c＜1,则( ).

A.ac＜bcB.abc＜bdc

C.alogbc＜blogacD.logac＜logbc

2.(化隐为显)(2016年高考江苏卷第14题)在锐角三角形ABC中,若sinA=sinBsinC,则tanAtanBtanC的最小值是___.

3.(数学归纳法)(2016年高考江苏卷第23题)(1)略;(2)设求证:.