利用常用不等式 破解高考导数题

安徽省无为第三中学城北校区(238300) 朱小扣

广东省兴宁市第一中学(514500) 蓝云波

导数是高中数学的重要内容和考点,笔者发现利用两个课本上的两个常用不等式,进行放缩,可以迅速破解导数问题.本文通过探讨其在五类导数题中的应用,以期对同学们备战高考有所帮助.现分析如下,供大家参考.

一、知识点梳理

2个常用的放缩不等式:

(1)指数放缩:ex≥x+1,x∈R,当且仅当x=0时等号成立.

(2)对数放缩:lnx≤x-1,x∈(0,+∞),当且仅当x=1时等号成立.

二、命题规律揭示

1.判断导数的恒正或恒负

例1当x＞1时,ex≥x2+bx+1恒成立.则b的取值范围是____.

解析当x＞1时,ex≥x2+bx+1恒成立.则.令,则0.所以h(x)在(1,+∞)单调递增,故h(x)＞h(1)=e-2,所以b≤e-2.

点评本题解答过程中,通过常用不等式可以迅速判断导数的正负,省去了大量的繁琐讨论,使问题顺利求解.

2.结合变量分离求参数的范围

例2当x≥0时,恒成立,则a的取值范围是( )

A.(-∞,1] B.(-∞,e] C.D.(-∞,0]

解析(1)当x=0时,0≥0,a∈R.

(2)当x＞0时,,由得a≤1.

综合(1)(2)得a≤1(用洛必达法检验也可得到a≤1)故选A.

例3(2016年广东预赛)设函数f(x)=ex-1-x-ax2当x≥0时单调递增,则a的取值范围为____.

解析题设即f′(x)=ex-1-2ax≥0恒成立,当x=0时,对任意a∈R,满足f′(x)=0;当x＞0时,可得,而,所以,综上知a的取值范围为.

点评本题解答过程中,结合使用了分离参数的思想方法,通过两个常用放缩不等式,可以秒杀此类题.因此利用放缩不等式是求参数的范围问题的一大利器.

3.利用桥梁构造两个不等式

例4(2018年衡水金卷)已知函数,其中e为自然对数的底数.(1)若f(x)有极值点,求证:必有一个极值点在区间(1,3)内;(2)求证:对任意x＞1,a＞-1,有.

证明(1)过程略.

(2)由a＞-1,x＞1,得a+x＞x-1＞0,得,所以.故只需证.只需证

由ex＞x+1(x/=1)且以x-1换x得:ex-1＞x,由lnx＜x-1(x/=0)且以换x得:,同时乘以得:.综上,原不等式得证.

点评本题两个常用不等式为命题背景,通过构造桥梁及两次证明,考察了同学们对两个常用不等式掌握能力及对两个常用不等式的深度理解.

4.推广常用放缩不等式

例5(2018年广州市普通高中毕业班综合测试)已知f(x)=ax+lnx+1.

(1)讨论函数f(x)零点的个数;

(2)对任意的x＞0,f(x)≤xe2x恒成立,求实数a的取值范围.

解析(1)当a＜-1时,函数f(x)没有零点,当a=-1或a≥0时,函数f(x)有1个零点,当-1＜a＜0时,函数f(x)有2个零点(过程略).

(2)因为f(x)=ax+lnx+1,所以对任意的x＞0,f(x)≤xe2x恒成立,等价于在(0,+∞)恒成立.当x＞0时,有xe2x=elnxe2x=elnx+2x≥lnx+2x+1(公式ex≥x+1),所以,即a≤2.所以a的取值范围是(-∞,2].

例6(2016年山西四校第二次四校联考)已知函数.

(1)求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程;

(2)证明:f(x)＞1.

解析(1)曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=e(x-1)+2(过程略).

点评例5直接利用常用不等式放缩难度较大,但通过xe2x=elnxe2x进而进行放缩,使问题顺利解决,例6是利用得出,从而使得题目简化.这些题均体现了对所学知识必须活学活用,不能刻板.同时这样命题,也能考察同学对知识能力的创新运用.

5.常用不等式的延拓

从两个常用不等式出发,可以延拓得到了另外五个高考中多次运用的重要公式,过程如下:

除此之外还要掌握如下不等式(可以用求导来证明,过程略):

①当x＞1时,;

②当0＜x＜1时,;

总结以上列举了利用常用不等式,放缩解决导数题的类型,并推广了常用不等式.在近几年的各类考试中,以常用不等式为背景的试题屡见不鲜,且常考常新,应引起足够的重视.与此同时在解决类似的问题时,应多角度,多思维的去考虑.方法和技巧也不能生搬硬套,必须自己尝试、自己领悟,在解题中达到自身水平的提高.