数学知识“提取困难”现象的成因及对策

【摘 要】数学知识“提取困难”的四种情形：一是不能及时提取相关知识;二是不能独立提取相关知识;三是不能有效提取相关知识;四是不能准确提取相关知识.克服“提取困难”现象的对策，可以从知识的形成、储存、检索三个方面去考虑：知识的形成，着力于问题情境的理解;知识的储存，着力于良好认知结构的完善;知识的检索，依赖于快速反应机制的训练.

【关键词】数学知识;提取困难;知识形成;储存;检索

解决数学问题，首先要从题目中捕捉有效信息，再根据这些信息从大脑中提取學过的相关知识，并用这些知识去解决问题.因此，知识的有效提取往往是解决问题的前提，也是能否及时独立解决问题的关键.学生提取有关知识信息时，有些可以信手拈来、有些则比较困难，而数学知识的提取困难，直接导致了问题解决的困难.所以对数学知识“提取困难”现象的研究，不论是对考试作业时的问题解决，还是对知识的获得与储存过程中教与学的指导都是十分重要的.

1 数学知识“提取困难”常见的四种情形

笔者通过对各种现象的收集和分析，把现有知识“提取困难”的现象归纳为以下四种情形：

一是不能及时提取相关知识.如有的同学考试时某道题没有做出来，出了考场却恍然大悟.本是自己会做的，当时偏偏没有想到，说明相关知识没能在限定的时间范围内提取出来.

二是不能独立提取相关知识.如有的学生做题时百思而不得其解，经同学或老师的提醒后豁然开朗;再如有些同学上课听讲都会，做题时却不会.这就说明这些知识在学生大脑中本来是有的，只是自己没有能力按一定的线索独立地将其提取出来.

三是不能有效提取相关知识.如学生在新课后的作业或单元考试中的某道题都会做，但在综合考试中遇到相同或类似的题却不会做了;再如学生知道几种可能正确的解题方法，却不知道到底要选择哪个，只能顾左右而茫然或者去碰运气了.这说明有些知识和方法处于一个更大的背景中时，学生往往不能有效地检索到.

四是不能准确提取相关知识.例如学生有时明明知道要用哪个知识点，具体应用时却写错了或写不完整.初看是因为学生提取时的印象模糊，实质是学生对相关的知识方法缺乏准确、完整的理解和清晰的记忆.

2 导致已有知识“提取困难”现象的四个因素

不容回避的是提取已有知识能力的大小与学生对此知识的掌握及熟悉程度相关，尤其与记忆力直接相关.而真正智力超常的学生毕竟是少数，在正常情况下，知识的提取是否困难，就与教学过程及由此带来的知识储存方式有直接的关系.仅从知识本身的特性看，相关因素有以下几个方面：

2.1 对知识的熟悉程度

通常越是熟悉的知识，越容易被激活，越不熟悉的知识，提取越困难;这与遗忘曲线揭示的规律是一致的.这里有两个关键因素：一是时间间隔长短;二是对知识本身的清晰程度.例如在不等式恒成立求参数的范围时常用的是分离参数法，转化为求函数最值问题，其依据是a≥f（x）a≥f（x）max，a≤f（x）a≤f（x）min.由于学生不常用和不会用的知识往往处于一种潜伏状态，学生也只是偶尔才能想到.

2.2 对知识的强化程度

一个经常应用或者强化较多的知识，往往在人的大脑里呈现一种“优势兴奋性”，该类知识在应用时能优先被激活，其他一些与之并存的知识却往往会失去被激活的机会，从而造成提取困难.

2.3 掌握知识的有序程度

按照信息加工理论可知，处于良好结构中的、具有紧密联系的知识提取就比较容易;相反只有松散结构的、随机或没有联系的知识提取就比较困难.这其实很好理解，就像是一个屋子里堆满乱七八糟的工具，你要找一件需要的工具是很难的.

2.4 对知识的理解程度

心理学研究表明，信息的提取与记忆痕迹的强度有关，而记忆痕迹的强度又与相应信息所受到的加工深度有直接关系.与信息提取相关的加工形式一般有以下几种：

2.4.1 对内容的理解

一个人说话的能力，也可以看成是一种储存知识的提取能力.他能娓娓道来，说明能不费力地从大脑中提取，是因为说话者说的是自己已经理解了的东西.反过来，如果让你看一篇不懂的文稿，然后让你说出其观点，却是很困难的.所以理解的东西容易被提取，不理解的东西不易储存更不易提取.理解也就是“懂了”，要求能把新东西纳入到原有的知识或经验体系中并能自圆其说，数学学习中的理解就是知道其来龙去脉，知道其结构特征和功能，知道其适用条件和范围等.

2.4.2 对知识的实质把握

某些知识之间存在着逻辑上和形式上的联系，如果能及时建立起相应的联系网络，就可以“一有虫儿触网，蜘蛛立即兴奋起来”了.相反，若缺乏对知识间的联系的理解，不仅会感觉知识储存容量大，而且提取困难.

3 克服数学知识“提取困难”现象的三个着力点

由上述分析可知，原有知识的提取容易还是困难，与该知识的形成过程及储存方式直接相关，所以要克服“提取困难”现象，教师首先要在平时的教学过程中充分考虑其获得过程和储存方式.而知识提取的关键是检索，检索本身也有一定的方法和技巧，其实质是面对具体问题情境的快速反应机制的形成.所以克服“提取困难”现象的对策，可以从知识的形成、储存、检索三个方面去考虑.

3.1 知识的形成，着力于问题情境的理解

3.1.1 让核心知识依托于相关情境

往往需解决的问题实际上是一个新的情境，经历具体情境而形成的知识更容易在面对问题情境时被提取.需强调的有两点：一是用于引入新知识的情境要跟需解决的一般问题有直接联系，这样可以让学生更好地理解新知产生的必要性及来龙去脉，最好能让学生体会到这是解决此类问题的更普遍的方法或更有力的工具;二是初步应用新知时，要注意问题情境（例题）的典型性与多样性（即变式），这样可以让学生熟悉知识迁移的多种途径.尤其是一些核心的数学概念和规律，要在形成过程中下工夫，假如教师只是直接抛出或无由来地证明一下，然后给出几项注意，并大量做题，短时间内效率似乎很高，时间一长这些知识就可能成为没有生机的惰性知识.

3.1.2 把抽象知识寄存于具体情境

抽象的知识距离学生的经验、实际的情境都比较远，所以教学中教师要让抽象知识获得具体感性内容的支撑，通过记住或掌握一些典型的模型或例题，使那些不可触摸的抽象事物在学生心目中变成可以触摸而且富有意义的东西，这样可以便于学生不费力地提取使用这些知识.如学习“任意角”教学时新课引入时创设了如下情境：

情境1 思考并回答下列问题：在初中我们是怎样定义和表示角的？在旋转形成角的过程中，已出现了哪几种角？试用不等式来刻画这些角的取值范围.

情境2 现在班级墙上的时钟慢了5分钟，你如何将它校正准确？如果快了1小时30分，又如何校正呢？在这个过程中，时针和分针各转了多少度？

情境3 在现实生活中，我们经常会遇到这样的情境：如跳台跳水运动员在做跳水动作时，向内或向外转体两周半，机器的齿轮转动，拧动螺丝的扳手等.从上面的这些现象，你发现了哪些问题，能给出它的数学表征吗？

3.1.3 对各种知识进行深入加工

知识的加工包括三种主要的形式：一是对相关知识的尝试回忆和独立推导;二是留一定的时间让学生自己梳理和消化，对相互联系的知识做多方向、多途径的思考和推敲;三是独立完成作业，即使遇到困难也要请教后再独立完成，不要还没思考马上就去看答案或者请教别人，要鼓励学生自主独立思考一些问题，寻求解决问题的方法，即使最终没能解决问题也是有益的.这些加工假如学生能够自主完成，则可以建立起知识间实质性的联系，强化学生自己“联系信息的通道”，有利于在解决问题时顺利并迅速地提取已有知识.

3.2 知识的储存，着力于良好认知结构的完善

在时间和空间上相近的知识点形成一个层次分明、分类清晰的网络结构，使某个信息与其他相关信息之间建立起紧密的联系，将信息保存于网络结构中，这种网络可以为学生解决问题时进行知识互换提供检索路径.

3.2.1 认知结构的及时重组

对每个版块的知识，学生都有一个与之对应的相对稳定的认知结构.遇到问题时，相关知识能不能提取，跟结构的有序度和清晰度有关，还跟结构本身的构成方式有关，所以在学习过程对该结构中要素的构成及相互关系不断修正和重组.学生的原有知识和经验是新知识学习的基础，教师应当在旧知识与新知识之间为学生牵线搭桥，引导学生利用原有知识经验同化新知识.学生在学习新知识时，新信息首先进入短时记忆，与来自长时记忆的原有知识经验建立一定的联系，然后构建新知识的心理意义并纳入原有的认知结构中，这就是旧知识吸纳新知识的“同化”过程.同化学习可分为3类，即下位学习、上位学习与组合学习.新知识是旧知识的类属时为下位学习，一般可理解为一般到特殊的学习，如二元一次不等式组到简单的线性规划问题的学习.新知识包括旧知识时为上位学习，一般可理解为特殊到一般的学习，如一元二次不等式的解法学习.新旧知识间是并列关系时为组合学习，如指数函数、对数函数、幂函数的学习等.

同化教学策略需要关注3个方面的内容.首先是确定学生的原有知识经验对新知识的学习是否可以利用，如果可以利用，就为新知识的学习提供必要的固定点.其次是分析原有知识经验与新知识的区分，防止新旧知识的混淆.最后是分析固定点作用的原有知识经验是否稳定、清晰，因为这既影响到为新知识提供固定点的强度，也影响到学生是否对新旧知识作出区别，如函数单调性和奇偶性的掌握程度直接影响到学生对后面几种特殊函数的学习.在学习新知的过程中，需要及时将原认知结构激活并把新知识纳入其中，并明确其适用的条件.

3.2.2 认知结构的逐步优化

首先，要对大容量知识进行浓缩或打包.认知结构中，分类具体一些、操作性就能强一些，问题是如果分类的种类过多，而每一类的适用条件又过于复杂，掌握和选择对学生都存在困难，如果用思想为方法打包，既浓缩了容量，又不失可操作性.

例如（2017年全国卷Ⅲ第21题）：已知函数f（x）=x-1-alnx.

（1）若f（x）≥0，求a的值;

（2）略.

很多学生看到这个题目自然就想到的解法是求f（x）min≥0，因为含有参数a，所以求f（x）的最小值需要复杂的分类讨论，而且分类讨论思想又是学生的弱项.所以很多学生就做不下去了.若此题发现f（1）=0是解决问题的关键，及时领悟严谨的数学语言f（x）≥0即f（x）min=0，从而得出f′（1）=0就得到问题成立的必要条件a=1，然后再分析a=1是否满足题意，这样能避开繁杂的分类讨论麻烦，使得本题的难度瞬间降低，很容易获得正确的答案.

其次，要用程序性知识来引领.当面对陌生的数学情境时，原有的知识往往不会用或用不上.例如在学习完向量的全部内容之后，笔者给出了这样一道题：已知向量[WTHX]a[WTBX]、[WTHX]b[WTBX]满足[WTHX]b[WTBX]-2[WTHX]a[WTBX]≤3，求[WTHX]a[WTBX]·[WTHX]b[WTBX]的最小值.学生做的几乎全错，经询问得知主要原因是难以选择知识方法进行切入.这就需要我们进行程序性知识来引领，解决向量问题常用的有几何法、坐标法、向量代数法.选择的坐标法，是熟知的，是用较为机械的程序化运作来代替大部分推理，把计算过程书写下来就保证可靠性，这里一切都看得见，一切都可以检验，一切都有精确的运算规则所确定，运算算法化，不需要过多地去考虑解题思路和推理逻辑.

再次，思想方法显性化.数学知识的形成实际上是在变化中寻求不变或者某种规律的过程，而数学解题的一种较高境界是以不变应万变.这里的不变或规律常常是以思想方法的形式体现的，因为解题思路方法具有普适性，所以更加具有可迁移性.就题论题或提炼不够是解题教学的一个通病，教学常常停留于操作层面.目前更值得提倡的是让学生充分经历解决问题的过程，然后独立提炼出一般性的方法并将它显性化.事实证明，这种显性化的知识间隔较长时间后在知识的迁移上有明显的优势.

3.3 知识的检索，依赖于快速反应机制的訓练

简单的问题，题面信息与所要用的知识间距离比较小，一般可以直接提取;难度较大的问题，两者之间的距离比较远即跨度比较大，假如是遇到过的熟悉问题，学生只要有一定的基本功往往都可以解决;假如遇到一个陌生问题，短时间内独立提取相关的知识和方法就比较困难，不仅涉及检索和提取的方法，还涉及快速反应的能力.所以这里的快速反应机制包括建立快速检索的方法和形成快速反应的能力.

快速检索，实际上是在认知结构中按快速通道行进，层次结构检索的通道是分步，并列结构检索的通道是分类.即先确定这一问题的类型，然后确定是该类型里的哪种具体问题，再确定用哪种处理方法.其分类标准可以是知识版块，可以是题型，也可以是方法，当然最好是以题面信息或解题过程中看得见的东西为标准.

通常，对常见的简单问题往往可以一步到位，确定相应的知识和方法;对陌生的有难度的问题，往往需要层层定位，识别其类型后再根据条件特征选择相应的方法，这个过程就是检索的过程.能根据条件进行识别和判断，是检索的首要条件，所以检索的过程，实际上是“确定类型——选择方法”系统的形成和应用的过程.

快速反应能力跟数学学习上的其他能力一样，也需要经过专门和长期的训练才可以形成，一般有两种形式：①一定量的限时训练，限时训练要求在一定的时间内完成一定量的题目.它可以让学生保持注意力的集中和思维的兴奋度，可以提高学生的迅速反应能力;②课堂上的现练现评.目前很多复习课都是采用先练后评的方式，把复习课上成习题讲评课，这样固然可以增加课堂容量，提高讲评效果，但却失去教会学生如何“在短时间内寻找有用的知识和方法，形成解题思路”的机会，所以，课堂教学在先练后评方式为主的同时，还要适当辅助以现练现评的形式，让学生在快速判断和选择的实践中掌握规律并逐步形成能力.

综上，原有知识提取的难易程度直接影响着学生答题的顺利与否.学生在学习的过程中，要注重基础知识的巩固和理解，方能在答题中游刃有余.

作者简介 王飞（1974 — ），男，江苏省连云港人，中学高级教师，主要从事高中数学高效课堂的构建策略研究，连云港市“333”教学名师、赣榆区名师，连云港市优质课评比一等奖.