2018年中考“综合与实践”专题解题分析

2019-06-20

中国数学教育（初中版） 2019年3期

（江西省教育厅教学教材研究室；江西省赣州市赣州中学）

一、内容要求分析

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）在课程内容部分指出，综合与实践是一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动.在学习活动中，要求学生综合运用“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”等知识、方法和基本活动经验解决综合与实践问题.

二、主要特点分析

为有效落实《标准》的基本理念，更好地发挥中考试题对“综合与实践”领域教学的导向作用，综观2018年中考“综合与实践”类试题的呈现形式、考查内容基本趋于稳定，考查题型多样化.命题者在深入理解《标准》对“综合与实践”内容要求的基础上，力求在试题的考查内涵上不断创新，以问题为载体，注重对试题的综合性、过程性和应用性的考查.

1.综合性

综合性体现在以下三个方面：数学内部知识的综合，数学与其他学科的综合，数学与生活实际的综合.一般考查“综合与实践”的试题贯穿了一个较完整的综合活动的背景，问题的设置也产生于活动过程中.

（1）数学内部知识的综合.

例1（江苏·泰州卷）对给定的一张矩形纸片ABCD进行如下操作：先沿CE折叠，使点B落在CD边上（如图1（1）），再沿CH折叠，这时发现点E恰好与点D重合（如图1（2））.

（2）将该矩形纸片展开.

①如图1（3），折叠该矩形纸片，使点C与点H重合，折痕与AB相交于点P，再将该矩形纸片展开.求证：∠CPH=90°.

②不借助工具，利用图1（4）探索一种新的折叠方法，找出与图1（3）中位置相同的点P，要求只有一条折痕，且点P在折痕上，试简要说明折叠方法（不用说明理由）.

图1

（2）①（方法1）如图2，连接EH.由翻折可得PH=PC，即PH2=PC2.根据勾股定理可得AH2+AP2=BP2+BC2.进而得出AP=BC.再根据PH=PC，∠A=∠B，得到Rt△PAH≌ Rt△CBP（HL）. 进而得到∠HPC=90°.

图2

图3

（方法2）如图3，连接EH，ED，设过点P的折痕交CD于点Q，连接HQ.由折叠的性质可得△AEH和△DHQ为等腰直角三角形，所以AH=AE，DH=DQ.又由折叠知DE⊥CH，PQ⊥CH，所以DE∥PQ.又因为AB∥CD，所以四边形PQDE是平行四边形.所以PE=DQ=DH.所以AP=AD=BC.又因为PH=PC，∠A=∠B=90°，所以Rt△PAH≌ Rt△CBP（HL），进而可得∠HPC=90°.

②（方法1）如图4，将矩形ABCD沿过点C的直线折叠，使点B的对应点B′落在CE上，则折痕与AB的交点即为点P.

图4

图5

（方法2）如图5，将矩形ABCD沿过点D的直线折叠，使点A的对应点A′落在DC上，则折痕与AB的交点即为点P.

【评析】此题创设了图形折叠的数学活动过程，并对实践操作过程中自然生成的问题进行设问，综合考查了等腰直角三角形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质，体现了对数学内部知识的综合考查.

（2）数学与其他学科知识的综合.

例2（四川·达州卷）如图6，在物理课上，老师将挂在弹簧测力计下端的铁块浸没于水中，然后缓慢匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则能反映弹簧测力计的读数y（单位：N）与铁块被提起的高度x（单位：cm）之间的函数关系的大致图象是（）.

图6

答案：D.

【评析】此题以物理现象为背景创设问题情境，由铁块从水中匀速上移逐渐移出水面直至停留在空中的过程，考虑到水的浮力影响，弹簧秤的读数由“保持不变—逐渐增大—保持不变”，故选D.此题考查了学生综合运用物理学知识、数学中的函数关系，以及函数图象来分析问题、解决问题的能力，体现了数学与其他学科知识的综合.

（3）数学与生活实际的综合.

例3（浙江·嘉兴卷）如图7（1），滑动调节式遮阳伞的立柱AC垂直于地面AB，点P为立柱上的滑动调节点，伞体的截面示意图为△PDE，F为PD的中点，AC=2.8 m，PD=2 m，CF=1 m，∠DPE=20°，当点P位于初始位置P0时，点D与点C重合（如图7（2））.根据生活经验，当太阳光线与PE垂直时，遮阳效果最佳.

（1）上午10：00时，太阳光线与地面的夹角为65°（如图7（3）），为使遮阳效果最佳，点P需从点P0上调多少距离？（结果精确到0.1 m）

（2）中午12：00时，太阳光线与地面垂直（如图7（4）），为使遮阳效果最佳，点P在（1）的基础上还需上调多少距离？（结果精确到0.1m）

图7

答案：（1）为使遮阳效果最佳，点P需从P0上调0.6 m；

（2）点P在（1）的基础上还需上调0.7 m.

【评析】此题创设了实际测量的问题情境，考查了学生对实际情境的数学化抽象过程，以及构建解直角三角形，用锐角三角函数解决问题的能力，体现了数学与实际生活的综合.

2.过程性

“综合与实践”内容要求关注学生经历活动的整个过程，积累数学活动经验.这部分试题力求创设实践活动的完整过程，在学生经历观察、思考、归纳、类比、猜想、证明等一系列思维活动并解决问题的过程中，达到考查学生的数学综合素养，并形成基本活动经验的目的.

列表：

x -1--3 1 12 3 -2x 23 y=-x-2 x………32-2-4 12 1 2 2 3 53 1 2 4 5 1 2 -4 y=-1-1-3 2 1 0 23 4 -13 12………

（1）试把y轴左边各点和右边各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来；

（2）观察图象并分析表格，回答下列问题：

①当x＜0时，y随x的增大而______；（填“增大”或“减小”）

③图象关于点_______中心对称.（填点的坐标）

图8

图9

答案：（1）所画函数图象如图9所示.

（2）①当x＜0时，y随x的增大而增大；

③图象关于点(0 ，1)中心对称.

（3）因为x1+x2=0，所以x1=-x2.

所以A(x1，y1) ，B(x2，y2)关于点(0 ，1)对称.

所以y1+y2=2.所以y1+y2+3=5.

【评析】此题是一道综合考查反比例函数的图象与性质的解答题，试题设计有新意.此题呈现了一个学习活动的完整过程，让学生在答题过程中不自觉地经历由观察自变量取值范围，列表、描点、画图，观察图象，发现图象的性质，并利用性质解决数学问题，体现了对基本活动经验的考查.

例5（河南卷）（1）问题发现：

如图10（1），在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M.

②∠AMB的度数为________.

（2）类比探究：

（3）拓展延伸：

在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD=1，OB=7，试直接写出当点C与点M重合时AC的长.

图10

②由△COA≌△DOB，得∠CAO=∠DBO.根据三角形的内角和定理得∠AMB=180°-（∠DBO+∠OAB+∠ABD）=180°-140°=40°.

图11

图12

【评析】此题呈现了数学活动中“发现问题—类比探究—拓展延伸”的完整过程，体现了从特殊到一般的探究思路，综合考查了几何变换，以及相似三角形、全等三角形的判定和性质，体现了对学生的分析推理能力、分类讨论思想、数形结合思想的考查.

3.应用性

综合与实践作为数学课程的一个重要领域，并不是在其他领域之外增加新的知识，而是强调数学知识的现实性和整体性.具体地说，综合与实践是指数学与外部世界的联系，数学内容之间的内在联系，以及数学在分析和解决问题过程中的综合应用.综合与实践的总体要求是帮助学生综合运用已有的知识和经验，经过自主探究和合作交流，解决与生活经验密切联系的、具有一定综合性和挑战性的问题，以发展学生解决问题的能力.

例6（浙江·绍兴卷）实验室里有一个水平放置的长方体容器，从内部量得它的高是15 cm，底面的长是30 cm，宽是20 cm，容器内的水深为xcm.现往容器内放入如图13所示的长方体实心铁块（铁块一面平放在容器底面），过顶点A的三条棱的长分别为10cm，10cm，ycm（y≤15），当铁块的顶部高出水面2 cm时，x，y满足的关系式是_______.

图13

图14

（1）求k，并用t表示h；

（2）设v=5，用t表示点M的横坐标x和纵坐标y，并求y与x的关系式（不写x的取值范围），及y=13时运动员与正下方滑道的竖直距离；

（3）若运动员甲、乙同时从A处飞出，速度分别是5米/秒、v乙米/秒.当甲距x轴1.8米，且乙位于甲右侧超过4.5米的位置时，直接写出t的值及v乙的范围.

答案：（1）h=5t2；

（2）10（米）；

（3）t=1.8，v乙＞ 7.5.

例8（陕西卷）问题提出

（1）如图15（1），在△ABC中，∠A=120°，AB=AC=5，则△ABC的外接圆半径R的值为_______.

问题探究

（2）如图15（2），⊙O的半径为13，弦AB=24，M是AB的中点，P是⊙O上一动点，求PM的最大值.

问题解决

图15

解析：（1）如图16，设△ABC的外接圆圆心为点O，连接OA，OB，OC，经过计算可得R=AB=AC=5.

图16

图17

图18

【评析】以上三道题均要求学生综合运用已有的知识和经验，经过自主探索和合作交流，解决与生活经验密切联系的、具有一定挑战性和综合性的问题.例6考查了数学几何体与物理学中容积的综合应用；例7考查了反比例函数、二次函数与物理学运动的综合应用；例8考查了几何知识与实际生活中路线最短规划的综合应用，凸显了2018年中考试题中“综合与实践”内容的应用性特点，有效地提高了学生的数学应用意识与创新意识.

三、解题思路评析

1.以逻辑推理为主线，利用分类讨论思想解题

例9（浙江·嘉兴卷）如图19，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，点E在CD上，DE=1，点F是边AB上一动点，以EF为斜边作Rt△EFP.若点P在矩形ABCD的边上，且这样的直角三角形恰好有两个，则AF的值是_______.

图19

【评析】此题考查了学生对矩形的性质、勾股定理、三角形中位线定理、圆的性质的综合运用能力.试题综合性较强，对学生的逻辑推理能力有较高要求，具有一定难度.解题时需要合理运用分类讨论进行有条理的逻辑推理.

2.以直观想象为导向，利用数形结合思想解题

例10（浙江·嘉兴卷）已知，点M为二次函数y=-(x-b)2+4b+1图象的顶点，直线y=mx+5分别交x轴正半轴，y轴于点A，B.

（1）判断顶点M是否在直线y=4x+1上，并说明理由.

（2）如图20（1），若二次函数图象也经过点A，B，且mx+5＞-(x-b)2+4b+1，根据图象，写出x的取值范围.

图20

解析：（1）根据顶点式解析式，可得顶点坐标，将点的坐标代入函数解析式进行检验，可得点M在直线y=4x+1上；

（2）根据待定系数法，可得二次函数的解析式.根据函数图象与不等式的关系，可知图象在下方的函数值小，可得x＜0或x＞5；

【评析】此题是一道二次函数的综合题.解第（1）小题的关键是把点的坐标代入函数解析式，并进行检验；解第（2）小题的关键是利用函数图象与不等式的关系求解；解第（3）小题的关键是解方程组，得出顶点M的纵坐标的取值范围，又利用二次函数的性质，得到当a＜0时，点与对称轴的距离越小函数值越大.其中借助图象来解决问题起着直观的导向作用，可见数形结合思想在解题中具有重要地位.

3.以数学运算为支撑，利用特殊到一般思想解题

例11（山东·青岛卷）问题提出：用若干相同的一个单位长度的细直木棒，按照如图21所示的方式搭建一个长方体框架，探究所用木棒条数的规律.

图21

问题探究：我们先从简单的问题开始探究，从中找出解决问题的方法.

探究1

用若干木棒来搭建横长是m，纵长是n的矩形框架（m，n是正整数），需要木棒的条数如下.

如图22，当m=1，n=1时，横放木棒为1×(1 +1)条，纵放木棒为(1 +1)×1条，共需4条；

如图23，当m=2，n=1时，横放木棒为2×(1 +1)条，纵放木棒为(2 +1)×1条，共需7条；

如图24，当m=2，n=2时，横放木棒为2×(2 +1)条，纵放木棒为(2 +1)×2条，共需12条；

如图25，当m=3，n=1时，横放木棒为3×(1 +1)条，纵放木棒为(3 +1)×1条，共需10条；

如图26，当m=3，n=2时，横放木棒为3×(2 +1)条，纵放木棒为(3 +1)×2条，共需17条.

图22

图23

图24

图25

图26

问题1：当m=4，n=2时，共需木棒的条数为___.

问题2：当矩形框架横长是m，纵长是n时，横放的木棒的条数为______，纵放的木棒的条数为______.

探究2

用若干木棒来搭建横长是m，纵长是n，高是s的长方体框架（m，n，s是正整数），需要木棒的条数如下.

如图27，当m=3，n=2，s=1时，横放与纵放木棒之和为[3 ×(2 +1)+(3 +1)×2]×(1 +1)=34条，竖放木棒为(3 +1)×(2 +1)×1=12条，共需46条；

如图28，当m=3，n=2，s=2时，横放与纵放木棒之和为[3 ×(2 +1)+(3 +1)×2]×(2 +1)=51条，竖放木棒为(3 +1)×(2 +1)×2=24条，共需75条；

如图29，当m=3，n=2，s=3时，横放与纵放木棒之和为[3 ×(2 +1)+(3 +1)×2]×(3 +1)=68条，竖放木棒为(3 +1)×(2 +1)×3=36条，共需104条.

图27

图28

图29

问题3：当长方体框架的横长是m，纵长是n，高是s时，横放与纵放木棒条数之和为_______，竖放木棒条数为______.

实际应用：现在按探究2的搭建方式搭建一个纵长是2、高是4的长方体框架，总共使用了170条木棒，则这个长方体框架的横长是_______.

拓展应用：若按照如图30所示的方式搭建一个底面边长是10，高是5的正三棱柱框架，需要木棒的条数为______.

图30

解析：问题1：当m=4，n=2时，横放木棒为4×(2 +1)条，纵放木棒为(4 +1)×2条，共需22条；

问题2：当矩形框架横长是m，纵长是n时，横放的木棒为m(n+1)条，纵放的木棒为n(m+1)条；

问题3：当长方体框架的横长是m，纵长是n，高是s时，横放与纵放木棒条数之和为[m(n+1)+n(m+1)]·(s+1)条，竖放木棒(m+1)(n+1)s条.

实际应用：按探究2的搭建方式搭建一个纵长是2、高是4的长方体框架，总共使用了170条木棒，则这个长方体框架的横长是4.

拓展应用：若按照如图30所示的方式搭建一个底面边长是10，高是5的正三棱柱框架，横放与纵放木棒条数之和为1 320条.

【评析】此题是一道考查图形的变化规律问题.解题的关键是理解题意，运用从特殊的例子中总结归纳出一般的内在规律，然后利用这个规律去验证与解决同类的数学问题.在这个探究与解决问题的过程中，数学运算能力一直起到了重要的支撑作用.

4.以数学建模为过程，利用类比、转化或化归思想解题

例12（山东·淄博卷）（1）操作发现：

如图31（1），小明画了一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，在△ABC的外侧分别以AB，AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD，ACE，分别取BD，CE，BC的中点M，N，G，连接GM，GN.小明发现了：线段GM与GN的数量关系是_______，位置关系是_______.

（2）类比思考：

如图31（2），小明在此基础上进行了深入思考.把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，其中AB＞AC，其他条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？试说明理由.

（3）深入研究：

如图31（3），小明在（2）的基础上，又进行了进一步的探究.向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD，ACE，其他条件不变，试判断△GMN的形状，并给予证明.

图31

解析：（1）线段GM与GN的数量关系是GM=GN，位置关系是GM⊥GN.理由：如图32，连接DC，EB，利用SAS判断出△ACD≌△AEB，得出CD=BE，∠ADC=∠ABE，进而判断出∠BDC+∠DBH=90°，即∠BHD=90°，最后用三角形中位线定理即可得出结论.

（2）上述结论仍成立.如图33，连接DC，EB，同（1）的方法即可得出结论.

（3）如图34，连接DC，EB，并延长交于点H，同（1）的方法得出MG=NG，最后利用三角形中位线定理和等量代换即可得出结论.

图32

图33

图34

【评析】此题是一道有关三角形的综合题，主要考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、三角形的中位线定理.解题的关键是正确作出辅助线，运用类比思想解决问题.在整个解题过程中，要求学生从特殊的例子入手，建立几何图形模型，然后利用这个模型解决变式问题.

例13（江苏·扬州卷）问题呈现

如图35，在边长为1的正方形网格中，连接格点D，N和E，C，DN和EC相交于点P，求tan∠CPN的值.

方法归纳

求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形.观察发现问题中∠CPN不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点M，N，可得MN∥EC，则∠DNM=∠CPN，连接DM，那么∠CPN就变换到Rt△DMN中.

问题解决

（1）直接写出图35（1）中tan∠CPN的值为_______；

（2）如图35（2），在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P，求cos∠CPN的值；

思维拓展

（3）如图35（3），AB⊥BC，AB=4BC，点M在AB上，且AM=BC，延长CB到点N，使BN=2BC，连接AN交CM的延长线于点P，用上述方法构造网格求∠CPN的度数.

图35

解析：（1）2；

（2）如图36，取格点D，连接CD，DM.

因为CD∥AN，

所以∠CPN=∠DCM.

因为△DCM是等腰直角三角形，

所以∠DCM=∠D=45°.

图36

图37

（3）如图37，取格点M，连接AN，MN.

因为PC∥MN，

所以∠CPN=∠ANM.

因为AM=MN，∠AMN=90°，

所以∠ANM=∠MAN=45°.

所以∠CPN=45°.

【评析】此题考查了三角形的性质、平行线的性质、勾股定理、直角三角形的判定和性质等知识.解题的关键是学会利用数形结合思想解决问题，学会运用转化思想思考问题，属于较难题.因此，从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、建立模型、求解结论、验证结果，最终解决实际问题的建模解题过程值得关注.

四、特色解法赏析

在2018年全国各地中考试题中对于“综合与实践”类问题都很重视，试题的设计符合《标准》的要求，同时又兼顾地域特色，倡导学生依据已有学习经验独立解决问题.试题解法丰富，且各具特色，由此彰显数学的和谐与统一.下面举例说明.

例14（湖南·常德卷）5个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个实数，并把自己想好的数如实地告诉与他相邻的两个人，然后每个人将与他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来，若报出来的数如图38所示，则报4的人心里想的数是________.

图38

解析：设报4的人心里想的数是x，则报1的人心里想的数是10-x，报3的人心里想的数是x-6，报5的人心里想的数是14-x，报2的人心里想的数是x-12，所以有x-12+x=2×3.解得x=9.故此题答案为9.

【赏析】此题属于阅读理解和探索规律题，考查的知识点有平均数的相关计算，以及对方程思想的运用.解决此题的方法有些特殊，题意理解起来比较容易，如果仅从数字去逐个推理，比较繁杂，不容易理清思路，但是借助方程思想便能理清思路，从而解决问题.只需多设几个未知数，把题中的等量关系全部表示出来，再结合题意进行整合，问题即可解决.此题还可以根据报2的人心里想的数是6-x，从而列出方程x-12=6-x来求解.