基于学生数学活动经验的类比学习——“一次函数”（第1课时）的课例赏析

（湖北省武汉市光谷实验中学；湖北省教育科学研究院；湖北省武汉市光谷第三初级中学）

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志.帮助学生积累数学活动经验是数学教学的重要目标，是学生不断经历、体验各种数学活动过程的结果.数学活动经验需要在“做”的过程和“思考”的过程中积淀，是在数学学习活动过程中逐步积累的.获得第十届全国初中青年数学教师优秀课展示与培训活动一等奖的周泽军老师执教的选自人教版《义务教育教科书·数学》八年级下册（以下统称“教材”）“一次函数”（第1课时）的教学课例，依据概念教学的四要素（名称、定义、属性、应用），以学习正比例函数的活动经验为切入点，先用类比的方式给出一次函数的名称，再从“形”上类比得出一次函数的解析式，在“互问互答”中挖掘内涵，形成一次函数概念.采用乌鸦喝水故事的延续，使课堂前后呼应，延伸拓展.设计三个不同的变量，求解三个不同的一次函数，使“运用一次函数解决实际问题”的难点得以突破；通过追问“投入多少石子，乌鸦正好可以喝到水？”把函数与方程联系起来；通过发现不同的解析式，求得的结果完全相同，提升对函数本质的感悟，使学生的思维上升到一个新的高度.力求借助学生已有的正比例函数学习的经验，通过类比，自主探究一次函数，让数学核心素养的培养在课堂上“落地生根”.

一、教学设计

1.教学内容解析

本节课内容是在学习了变量与函数、函数图象、正比例函数的定义、图象、性质等之后安排的内容.以寻找实际问题中变量的关系式入手，依据方程与正比例函数的定义，类比过渡到一次函数的定义，归纳出一次函数的三个特征：从指数上看，自变量x指数为1；从形式上看，解析式右边是关于自变量x的整式；从常数上看，k，b为常数，且k≠0.体验特殊与一般、类比思想，并使这些思想在函数的图象、性质和应用中得到进一步的强化与深化.一次函数在知识类型上属于程序性知识，是后续学习方程（组）与不等式、二次函数、反比例函数等知识的基础；是学习物理、化学等其他学科知识的基础，是函数思想在实际问题中的重要体现，在“数与代数”的知识板块中具有承上启下的作用.

基于上述分析，将本节课的教学重点确定为一次函数概念的形成.

2.教学目标解析

（1）教学目标.

①理解一次函数的概念，知道一次函数与正比例函数的关系.

②经历一次函数概念的形成过程，体会函数思想、类比思想，以及从特殊到一般等方法.

③积累建立一次函数模型和类比学习的经验，提升数学抽象和数学建模的核心素养.

（2）目标解析.

达成目标①的标志是：学生知道一次函数解析式右边是关于自变量的一次整式和常数k，b的要求，知道一次函数与正比例函数之间属于一般与特殊的关系.

达成目标②的标志是：学生能类比正比例函数，以自主、合作的学习方式，通过观察实际例子中解析式的特征，归纳、总结出一次函数的概念.

达成目标③的标志是：学生能确定具体问题情境中的一次函数解析式，并用函数模型解决相关的实际问题，积累建立一次函数模型的经验，提升数学抽象和数学建模的核心素养.

3.学生学情分析

本节课是以类比的思想方法为主线来研究一次函数.通过前面的学习，学生具备了方程、函数、正比例函数的定义、图象与性质的知识基础，具备了找等量关系，区分多项式次数、项数的能力基础.通过正比例函数的学习，学生初步掌握了如何研究一个具体函数（从定义到图象与性质）的方法.但学生对函数概念的理解、函数类型的理解还不够深入，类比、抽象与概括能力还有待提高，所以在学习过程中教师要细心了解学生的内心世界，关注每一位学生的变化，努力调动他们的学习积极性，要善于发现他们在学习过程中的闪光点，及时给予鼓励性的评价和引导.

基于上述分析，将本节课的教学难点确定为理解一次函数的概念.

4.教学策略分析

本节课根据函数概念教学的特点，利用童话故事设置情境导入课题，让学生在情境中体验数学，激发兴趣；体会一次函数从书写形式上与正比例函数y=kx(k≠0)有何异同，让学生通过类比感悟数学；面对多角度、多层次的变式应用，用辨析的方式来固化概念；绘制知识树构建知识体系，让学生在反思中养成梳理知识的意识与能力.因此，本节课采用的教法是引导启发，学导迁移；学法是合作探究，抽象类比.

二、课堂实录

1.情境导学

从“乌鸦喝水的童话故事”出发，引出“水深y与放入石子颗数x之间的关系”问题，通过问题设疑，引导学生在类比中产生思维冲突，发现一次函数的模型.

开场白：前面我们学习了函数、正比例函数，知道函数是刻画两个变量之间对应关系的数学模型，带着这一思想，用你犀利的眼光，观察下面这段童话故事里是否存在函数模型呢？

教师播放视频“乌鸦喝水的童话故事”.

画外音：一只乌鸦口渴了，到处找水喝.看见一个瓶子，里面装有水.但是瓶子里的水不够高，瓶口又太小，乌鸦喝不着水.那只乌鸦动脑筋，捡来小石子，一颗一颗的把它往瓶子里装，只见瓶子里的水渐渐升高.升到瓶口时，乌鸦就喝着水了.

师：假设故事中，瓶子为圆柱形，每个石子体积相同，瓶子里原有水深5 cm，放一颗石子水位上升0.3 cm，那么放x颗石子后，瓶子的水深y怎样表示呢？

生：y=0.3x+5.

师：y是x的函数吗？

师：y是x的正比例函数吗？为什么？

【评析】以“乌鸦喝水的童话故事”为情境引入课题，激发学生的学习兴趣，体验函数概念的实际背景，感知数学源于实际生活.初步体会运用函数思想建立函数模型的过程与方法，在此过程中体会学习新知的必要性.师生通过观察、思考、讨论，形成课堂的合力.

师：像上面两变量之间的函数关系就是我们今天要研究的一种新的函数.我们先给它一个名称叫做一次函数（板书课题），为了揭开一次函数的面纱，让我们先回顾一下正比例函数的学习过程.

问题1：我们已经学习了正比例函数，你能总结一下正比例函数研究了哪些内容吗？

生：正比例函数的定义、正比例函数的图象、正比例函数的增减性，以及正比例函数的应用.

问题2：类比正比例函数的学习方法，你能推测一下一次函数将要研究哪些内容吗？

生：一次函数的定义、一次函数的图象、一次函数的增减性，以及一次函数的应用.

问题3：正比例函数的概念是如何形成的呢？（PPT展示教材图片如图1所示.）

图1

生：从教材中我们不难看出，正比例函数定义的形成经历了“实际问题—抽取出解析式—从解析式的形式特征上定义”三步.

【评析】通过类比正比例函数研究的内容、线索，推测出一次函数研究的内容、线索，让学生对本节课有一个整体的认识，使学生学会研究函数的基本思路与方法，也便于学生在后续函数的研究中明确方向，增强学习的预见性与主动性.

2.活动研学

（1）感悟概念.

从回顾正比例函数的学习经验入手，通过“问题串”的引导让学生先从“形”上类比得出一次函数的解析式；再在“互问互答”中挖掘内涵，形成一次函数概念；最后在对比中理解一次函数的概念.在类比中经历感悟概念、形成概念、理解概念，从而形成函数概念学习的一般思路.

问题4：类比正比例函数概念的形成过程，你认为该如何来学习一次函数的概念呢？

问题5：下列问题中，两个变量之间是函数关系吗？若是，写出函数关系式.

①有人发现，在20～25℃时蟋蟀每分钟鸣叫次数C与温度t（℃）有关，即C的值约是t的7倍与35的差.

②一种计算成年人标准体重G（单位：kg）的方法是，以厘米为单位量出身高值h，再减常数105，所得差是G的值；

③某城市的市内电话的月收费额y（单位：元）包括月租费22元和拨打电话xmin的计时费，按照0.1元/min收取；

④某登山队大本营所在地的气温为5℃，海拔每升高1 km气温下降6℃，登山队员由大本营向上登高xkm时，他们所在的位置的气温是y℃，试写出y与x之间的关系式.

生：①C=7t-35(20≤t≤25)； ②G=h-105；③y=0.1x+22；④y=-6x+5.

（2）形成概念.

y=0.3x+5；C=7t-35(20≤t≤25)；G=h-105；y=0.1x+22；y=-6x+5.

问题6：观察以上五个函数解析式，类比正比例函数y=kx(k≠0)的定义方式，你能写出一次函数的一般表达式吗？

问题7：关注一次函数的一般表达式的特征，你能提出哪些问题？

问1：从自变量的次数来看有何特征？

答1：自变量x的次数都是1.

问2：从解析式右边的书写形式与项数来看有何特征？

答2：解析式右边都是关于自变量x的一次二项式.

问3：等式右边的kx与b分别是什么项？

答3：kx是一次项，k是一次项系数，b是常数项.

问4：y是关于自变量x的几次函数的概念？

答4：y是关于自变量x的一次函数.

问5：解析式中的字母k，b有什么限定吗？

答5：k为常数，k≠0，k，b为常数.

问6：能类比正比例函数的概念，归纳出一次函数的概念吗？

答6：一般地，形如y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的函数叫做一次函数.

【评析】通过实际问题得到函数解析式，引导学生在类比各式的特征中发现一类不同于正比例函数的函数，训练学生的数学建模与数学抽象思维能力，进一步引出研究一次函数的必要性，并为类比、抽象、概括出一次函数的定义做铺垫，让学生在思考、对比、分析、类比、迁移中，亲身经历一次函数概念的建构过程.

（3）理解概念.

【评析】概念精致是为了促进学生对概念的进一步理解与记忆，也是帮助学生达到思维能力上的又一次提升.

问题8：对比y=kx+b(k≠0 )与y=kx(k≠0)，回答下列问题.

① 一次函数y=kx+b(k≠0)中的b可以为0吗？当b=0时，y=kx+b(k≠0)变成了什么函数？

②一次函数与正比例函数之间有何关系？

③试在如图2所示的（1）（2）两个区域内填上一次函数与正比例函数.

图2

【评析】通过问题8引发学生的思维冲突，让学生对比两种函数概念，自主寻找得出一次函数与正比例函数的关系，在思考中理解正比例函数与一次函数的关系.

3.检测评学

通过“我辨析”“我深化”“我活用”，由浅入深地应用概念，引导学生对概念进行准确的理解，帮助学生形成应用定义解决问题的能力.

（1）我辨析.

问题9：下列函数中哪些是一次函数，哪些还是正比例函数？并说明理由.

④y=-8x；⑤y=kx+b.

y是x的一次函数的有_______，y是x的正比例函数的有________（只填序号）.

（2）我深化.

问题10：若y=(k-2)x|k-1|+3是一次函数，求k的值.（学生演板，师生共同讨论完成.）

【评析】遵循学生的认知规律，多角度、多层次地设置习题，在类比中应用，在应用中加深学生对一次函数概念的理解.

（3）我活用.

问题11：故事的延续——在前面乌鸦喝水的故事中，假设瓶子为圆柱形，每个石子体积相同，瓶子里原有水深5 cm，放一颗石子水位上升0.3 cm，瓶高10 cm，乌鸦嘴长2 cm，投入的石子的颗数为a，试分组写出下列变量关于a的关系式.

①水面的高度x；②水面上升的高度y；③水面与瓶口的距离Z.

活动要求：①小组合作讨论；②1～3组写x与a的关系式，4～6组完成y与a的关系式，7～8组写Z与a的关系式.

问题12：在上面出现的几种情况中，每种情况最少投入多少颗石子，乌鸦正好可以喝到水？

追问1：借助三个函数关系式求得同体积石子的颗数一样吗？

追问2：通过一致的结果我们可以得到什么启示呢？

师：我们用不同的两个变量解决同一个问题，虽然函数解析式不同，但殊途同归，求得的两组结果分别一致，说明建立函数解析式时，所设自变量与函数可以不一样，但不影响问题的结果.

【评析】通过由三个不同的自变量列出三个不同的一次函数，进一步加深学生对一次函数概念的认识，体会一次函数是刻画现实世界变化规律的重要数学模型.通过追问“投入多少颗石子，乌鸦正好可以喝到水？”把函数与方程联系起来，让学生感知函数中的变量与方程中的未知数是可以相互转化的.通过不同的解析式，发现求得的结果相同，提升对函数本质的感悟，使学生的思维上升到一个新的高度.

4.反思提升

从放手让学生自主小结出发，通过绘制知识结构图或知识树的方式，引导学生将知识结构化，达成有意义的学习.

问题13：本节课你学到了什么？小组合作将本节课学到的内容整理成知识结构图或知识树，画在草稿纸上，然后上台展示、分享（如图3）.

图3

【评析】创设反思情境，搭建交流平台，学生在归纳、小结的基础上，能及时将新知识纳入到已有的知识系统，加深概念的理解与思维的升华.

5.课堂延伸

为进一步引发学生的探索与思考，通过设置类比画正比例函数图象的方法探索画一次函数的图象，将课堂学习延伸到课外，为学生提供探究的载体，激发学生的求知欲，为下一节课做准备.

1.教材第90～91页练习第2，3题.

2.探究：类比正比例函数的学习过程，举出一个一次函数的实例，写出它的解析式，并尝试画出这个函数的图象，试探究这个函数的性质，下节课以小组为单位展示你们的探究成果.

【评析】让学生课后巩固对概念的理解，为下节课做好铺垫，进一步运用类比思想体会与同类知识的研究思路.

三、教学反思

1.可取之处

本节课抓住了如下三大特点和两条主线.

特点一：突出了承上启下的价值功能.

本节课是学生在学习了变量与函数、正比例函数的基础上学习的内容，它既是前面知识的深化与应用，又为后面学习其他函数（如二次函数、反比例函数）提供了思路与方法.类比学习是本节课的主要学习方法，从正比例函数的知识结构类比出一次函数的知识结构，从正比例函数的定义方式类比出一次函数的定义方式.

特点二：突出了类比学习的经验与活动.

本节课是一次函数的概念课，多数教师采用的是从特殊到一般的方式抽象出一次函数的概念，而执教者采取的方法是依据概念教学的四要素（名称、定义、属性、应用），类比学习正比例函数的活动经验，先给出一次函数的名称，再从“形”上类比得出一次函数的解析式，在“互问互答”中挖掘内涵，最后形成一次函数概念.

特点三：突出了数学概念教学的基本模式.

本节课还体现了概念教学的三步曲.

第一步：概念的抽象.通过实际问题，类比正比例函数概念的学习经验，抽象、概括出一次函数的概念.

第二步：概念的理解.通过概念的精致、辨析、对比等活动，促进学生对概念的准确理解，构建相关知识体系.

第三步：概念的应用.借助辨析、深化和故事的拓展等环节，提高了学生分析问题、解决问题的能力.

综观本节课的教学实施，明、暗两条线索相得益彰.

（1）以活动为明线.通过童话故事感悟概念、类比生成概念、对比生成关系、运用概念解题、构建知识体系，使本节课成为基于学生学习正比例函数经验的类比学习.

（2）以数学思想、方法为暗线.在五大活动中渗透了抽象、类比、建模、归纳等数学思想与方法，使核心素养落地生根.

2.改进之处

遗憾的是对学生的回答和交流，有些地方的评价不是很到位；受课堂45分钟的时间限制，很多学生还想发言交流，意犹未尽，怎么利用它？这将是笔者需要进一步探索的问题.

四、教学点评

该课既展示了概念课型的教学模式，又彰显了“结构教学、情境激趣、展示释疑”的教学方式.

1.情境激趣，整体构建

上课伊始，以乌鸦喝水的视频为问题背景，创设情境，引入新课，符合学生的心理与学习经历，使学生倍感亲近，既激发了学生的学习兴趣，又开门见山，切入主题.

紧接着师生一起回忆正比例函数的学习内容，教师引导学生采用“结构学习”的方式猜想一次函数的学习内容，使学生明确学习方向.教师展示了正比例函数学习的三步曲，即实际问题、抽取解析式、从形式特征定义，使学生熟悉了正比例函数定义的学习过程与方法，为类比一次函数的定义提供了情境与思路.

若乌鸦喝水是一个感性的情境，那么正比例函数定义的过程是一个理性的情境，实现了从感性到理性的过渡.

2.充分活动，开放思维

有效的数学课堂应该包含丰富的数学思维活动和学生的小组活动，两者缺一不可.在“活动研学”环节，两个活动都留给学生充足的时间进行独立思考、小组讨论、展示交流、发现问题、释疑问题.为了站在学生的角度，让学生理解概念，教师大胆设计了问题“你能写出一次函数的一般表达式吗？关注一次函数的一般表达式你能提出哪些问题？”学生通过自问自答，大大增加了认识一次函数的深度及广度.学起于思，思源于疑，此环节学生主动质疑、相互释疑，创新了学生活动的场域，在很大程度上增加了学生的思维量.

3.紧扣本质，碰撞思维

学贵在应用.在解决实际问题的环节，采用乌鸦喝水故事的延续，使课堂前后呼应，延伸拓展.设计三个不同的变量，求解三个不同的一次函数，使“运用一次函数解决实际问题”的难点得以突破.通过追问“投入多少颗石子，乌鸦正好可以喝到水？”把函数与方程联系起来.通过结果发现不同的解析式，求得的结果完全相同，提升学生对函数本质的感悟，使学生的思维上升到一个新高度.

4.概念教学，推陈出新

本节课的重点是一次函数概念的学习.为了突出重点，本节课采用了结构教学、感悟方法、观察提炼、类比归纳形成概念；采用了概念的精致、辨析、对比、变式等方式理解概念，展现概念教学的全新模式与创新.