2018年中考“事件的概率”专题命题分析

2019-06-20

中国数学教育（初中版） 2019年3期

（河南省商丘市梁园区基础教育教学研究室）

“事件的概率”是初中数学的重要内容之一，同时是各地中考的必考内容，通过学习概率，可以加深对随机现象的认识，形成数据分析观念，学会做出合理的决策，并且提高分析问题和解决问题的能力，以及数学应用意识.综观2018年各地的中考试题，概率的考查命题形式以填空题、选择题、解答题等方式呈现，命题避循了“数学试题在考学生‘四基’的同时，着重考查学生运用数学知识分析和解决实际问题的能力”的原则，试题的设计主要是从基础知识出发，考查学生的基本应用技能和合情推理能力，部分地区的中考试题对概率内容知识考查越来越灵活，题目越来越新颖、综合.

一、考点分析

“统计与概率”的内容在新课程中得到了较高的重视，成为和“数与代数”“图形与几何”“综合与实践”并列的四部分内容之一.“事件的概率”是中考的必考内容之一，虽然概率的内容在中考中所占的分值不多，考查的内容也都比较简单，但它往往与现实生活相联系，注重对基本概念和统计量计算的合理使用，从而为统计决策提供科学依据.这些内容特点与现代社会对普通公民数据理解和分析能力的基本要求相一致.因此，“事件的概率”内容具有较为重要的现实价值.

1.《义务教育数学课程标准（2011年版）》要求

根据《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）的要求，“事件的概率”的课程内容为：（1）能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定事件发生的所有可能结果，了解事件的概率；（2）知道通过大量的重复试验，可以用频率来估计概率.基于此，以收集到的2018年全国各地区中考试卷130份作为样本，发现各地对“事件的概率”的考点主要体现在三个方面：（1）考查确定事件和随机事件的基本概念；（2）对随机事件进行数据分析，用频率来估计概率；（3）借助定义，以公式法、列表法、画树状图、几何概型或游戏公平性的形式求事件的概率.

2.基本情况分析

130份试卷的相关数据如表1所示.

表1

（1）从试题形式上看，21份试卷只在选择题中单独考查，18份试卷只在填空题中单独考查.另外，湖北武汉、山东聊城、四川成都、湖南长沙、内蒙古包头5份试卷以“一道选择题+一道填空题”的形式呈现；38份试卷只在解答题中考查，另外，43份试卷以“一道选填题+一道解答题”的形式呈现；广东卷和山东莱芜卷未考查“事件的概率”.

（2）从题量上看，“事件的概率”共175道题，平均每份试卷1.35道，约占总题数的5.17%；从分值上看，全国各地区基本为满分120分或150分卷，“事件的概率”部分共668分，平均每份试卷5.1分，约占总分数的3.78%，分值数与《标准》要求的“事件的概率”的课时量安排比例基本相符.

（3）从考查内容上看，绝大部分试卷注重对列表法或树状图法列出所有可能性，并求出相关概率的考查，少部分地区只考查了概率公式的应用；有11份试卷考查了几何概型，比2017年有显著增加；解答题中基本与统计相结合，在最后一问中用列表法或树状图法求概率，或利用频率估计概率，综合考查学生运用统计知识与随机意识的能力.另外有26份试卷在解答题中单独考查概率的应用.

二、命题思路分析

概率知识在“统计与概率”板块中占有较大的比重，与近几年各地中考试卷相比，2018年各地中考试卷对“事件的概率”的考查总体延续了近几年的命题特点，即结合实际背景，考查概率知识的基本概念，以及计算简单随机事件的概率等内容仍然是2018年中考的主要形式.同时，加强统计与概率之间的联系，在中考试题中将两者有机融合在一起，体现了概率其实就是研究和揭示随机现象统计规律的一门学科，题目在题干设计、呈现形式等方面不乏亮点，这种考法上的变化，对教学具有正确的导向作用.

1.重视基础，直接考查概率的相关概念

例1（四川·南充卷）下列说法正确的是（）.

（A）调查某班学生的身高情况，适宜采用全面调查

（B）篮球队员在罚球线上投篮两次都未投中，这是不可能事件

（C）天气预报说明天的降水概率为95%，意味着明天一定下雨

（D）小南抛掷两次硬币都是正面向上，说明抛掷硬币正面向上的概率是1

例2（福建A卷）投掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则下列事件为随机事件的是（）.

（A）两枚骰子向上一面的点数之和大于1

（B）两枚骰子向上一面的点数之和等于1

（C）两枚骰子向上一面的点数之和大于12

（D）两枚骰子向上一面的点数之和等于12

例3（辽宁·沈阳卷）下列事件中，是必然事件的是（）.

（A）任意买一张电影票，座位号是2的倍数

（B）13个人中至少有两个人生肖相同

（C）车辆随机到达一个路口，遇到红灯

（D）明天一定会下雨

【评析】上述三道试题均考查概率的基本概念，分别以掷骰子和生活现象考查学生对不可能事件、随机事件及必然事件的正确理解.《标准》对“事件的概率”部分内容要求不高，各地区中考对此类知识考查偏易，均以丰富的现实背景对各种事件的含义进行全面考查，以直接考查的形式来呈现，使试题更加符合《标准》的要求.

（A）连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上

（B）连续抛一枚均匀硬币10次都可能正面朝上

（C）大量反复抛一枚均匀硬币，平均每100次有50次正面朝上

（D）通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的

例5（广西·贵港卷）笔筒中有10支型号、颜色完全相同的铅笔，将它们逐一标上1～10的号码，若从笔筒中任意抽出一支铅笔，则抽到编号是3的倍数的概率是（）.

【评析】以上三道题均考查简单随机事件概率的求法，很好地考查了学生对事件及其概率意义的理解，知识点为随机事件A的概率P(A)等于事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数.直接运用概率公式求解的方式是概率问题的基础，题目较易，试题的设计也主要以学生的认知基础和知识经验进行设计，考查目标基础，问题呈现自然，具有较好的效度和信度.

2.创新形式，综合考查对简单随机事件概率的理解

例7（广西·玉林卷）某小组做“用频率估计概率”的实验时，绘出的某一结果出现的频率折线图如图1所示，则符合这一结果的实验可能是（）.

图1

（A）抛一枚硬币，出现正面朝上

（B）掷一个正六面体骰子，出现3点朝上

（C）一副去掉大、小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃

（D）从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取1个球，取到的是黑球

例8（北京卷）从甲地到乙地有A，B，C三条不同的公交线路.为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如表2所示.早高峰期间，乘坐_______（填“A”“B”或“C”）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大.

表2

例9（湖南·永州卷）在一个不透明的盒子中装有n个球，它们除了颜色之外其他都没有区别，其中含有3个红球，每次摸球前，将盒中所有球摇匀，然后随机摸出1个球，记下颜色后再放回盒中.通过大量重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.03，那么可以推算出n的值大约是_______.

例10（江苏·淮安卷）一只不透明袋子中装有三个大小、质地都相同的小球，球面上分别标有数字1，-2，3，搅匀后先从中任意摸出一个小球（不放回），记下数字作为点A的横坐标，再从余下的两个小球中任意摸出一个小球，记下数字作为点A的纵坐标.

（1）用画树状图或列表等方法列出所有可能出现的结果；

（2）求点A落在第四象限的概率.

例11（云南·曲靖卷）数学课上，李老师准备了四张背面看上去无差别的卡片A，B，C，D，每张卡片的正面标有字母a，b，c表示三条线段（如图2），把四张卡片背面朝上放在桌面上，李老师从这四张卡片中随机抽取一张卡片后不放回，再随机抽取一张.

图2

（1）用树状图法或者列表法表示所有可能出现的结果；

（2）求抽取的两张卡片中每张卡片上的三条线段都能组成三角形的概率.

例12（贵州·贵阳卷）图3（1）是一枚质地均匀的正四面体形状的骰子，每个面上分别标有数字1，2，3，4，图3（2）是一个正六边形棋盘，现通过掷骰子的方式玩跳棋游戏，规则是：将这枚骰子掷出后，看骰子向上三个面（除底面外）的数字之和是几，就从图3（2）中的点A开始沿着顺时针方向连续跳动几个顶点，第二次从第一次的终点处开始，按第一次的方法跳动.

图3

（1）随机掷一次骰子，则棋子跳动到点C处的概率是________；

（2）随机掷两次骰子，用画树状图或列表的方法，求棋子最终跳动到点C处的概率.

【评析】在近几年中考中，概率和其他领域的知识相结合进行综合考查的题目频繁出现，从命题的角度来看，综合试题问题背景设计更为新颖，创新意识更强，但结合学生的认知基础和知识经验，这种题型难度稍高，若命题者一味强调创新，强调综合，把求概率当成计算题，人为设置障碍，则与概率研究的随机现象本质不符.如何巧妙的设置概率综合题，应是命题者应该研究的一个课题.

以上三道题分别以点的坐标、三角形的存在性及规律性问题相结合考查简单概率事件，其中例10第（1）小题以不放回的两步概率入手，考查了列表法或树状图法的知识，第（2）小题以第（1）小题的结果直接利用概率公式求解，虽然综合了点的坐标的特征，但此题难度不大，知识间衔接自然，很巧妙地把点的坐标与概率的基本考查融为一体.例11第（1）小题和例10类似，均为考查列表法或树状图法的知识，但由于第（2）小题中三角形的特征难度稍大，会导致学生因其他数学知识不过关而造成失分，在效度上削弱了对概率的考查功能.例12第（1）小题中以正四面体的骰子向上三个面的数字和为跳棋中的步数为背景求一步概率，此时，随机投掷一次，向上三个面上数字和分别是1＋2＋3＝6，1＋2＋4＝7，1＋3＋4＝8，2＋3＋4＝9，从点A开始，跳动后分别在点A，B，C，D四个位置，和为8时，可以到达点C，根据概率公式计算即可；第（2）小题则以两步概率入手，根据数字和判断棋子的位置，用画树状图或列表的方法考查规律性问题，以及概率的随机性和应用性.所以，在综合题的设置上，命题者应从概率的基本考查入手，引导学生关注概率随机性及应用性的基本功能.

3.试题背景贴近生活，考查模型思想与应用思想

图4

例14（甘肃·白银卷）如图5，在正方形方格中，阴影部分是涂黑的3个小正方形所形成的图案.

图5

（1）如果将一粒米随机地抛在这个正方形方格上，那么米粒落在阴影部分的概率是多少？

（2）现将方格内空白的小正方形（A，B，C，D，E，F）中任取2个涂黑，得到新图案.试用列表或画树状图的方法求新图案是轴对称图形的概率.

【评析】以上两道题分别以几何模型考查了古典概型概率公式，通过对平面图形阴影部分面积的比例转化为几何概型问题.例13以实际问题入手考查几何概型、菱形的性质、解直角三角形，解答此题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想求解.命题的立意以计算为主，考查简单的几何概型，追求试题的创新，投针训练的随机性与最终求出命中矩形区域的概率的应用性体现了概率的本质.例14利用轴对称设计图案考查几何概型，第（1）小题直接利用概率公式计算可得，第（2）小题则需要列表法与画树状图法得出所有等可能结果，从中找到新图案是轴对称图形的结果数，利用概率公式计算可得.命题者构思新颖，转化巧妙、自然，在不同的背景下求概率，对学生概率基础知识和基本技能进行考查，体现概率的模型思想与数形结合思想.

例15（贵州·遵义卷）某超市在端午节期间开展优惠活动，凡购物者可以通过转动转盘的方式享受折扣优惠，本次活动共有两种方式.方式一：如图6，转动转盘甲，指针指向A区域时，所购买物品享受9折优惠，指针指向其他区域无优惠；方式二：同时转动转盘甲和转盘乙，若两个转盘的指针指向每个区域的字母相同，所购买物品享受8折优惠，其他情况无优惠.在每个转盘中，指针指向每个区域的可能性相同（若指针指向分界线，则重新转动转盘）.

（1）若顾客选择方式一，则享受9折优惠的概率为________；（2）若顾客选择方式二，试用树状图或列表法列出所有可能，并求顾客享受8折优惠的概率.

图6

例16（山东·青岛卷）小明和小亮计划暑期结伴参加志愿者活动.小明想参加敬老服务活动，小亮想参加文明礼仪宣传活动.他们想通过做游戏来决定参加哪个活动，于是小明设计了一个游戏，游戏规则是：在三张完全相同的卡片上分别标记4，5，6三个数字，一人先从三张卡片中随机抽出一张，记下数字后放回，另一人再从中随机抽出一张，记下数字.若抽出的两张卡片标记的数字之和为偶数，则按照小明的想法参加敬老服务活动；若抽出的两张卡片标记的数字之和为奇数，则按照小亮的想法参加文明礼仪宣传活动.你认为这个游戏公平吗？试说明理由.

【评析】数学来源于生活，又服务于生活，而概率最大的特点就是其应用性，近几年中考命题中研究现实生活中概率现象的试题呈上升趋势，结合现实背景，涉及概率公式、列表法与树状图法以及游戏的公平性等知识.这类试题考查学生应用概率知识解决实际问题的能力和意识，体现了学生对概率基本思想的考查.

例15第（1）小题由转动转盘甲共有四种等可能结果，其中指针指向A区域只有1种情况，利用概率公式计算可得；第（2）小题画树状图得出所有等可能结果，从中确定指针指向每个区域的字母相同的结果数，利用概率公式计算可得.此题问题背景的设置是学生较为熟悉的场景，命题较为简洁，虽为方案选择，但无其他干扰因素，在概率的随机性的基础上能更好的对概率的应用意识和能力进行考查，让学生在解决问题的过程中，体会学习概率的意义.例16首先根据题意列表，然后根据列表求得所有等可能的结果与和为奇数、偶数的情况，再利用概率公式求解即可.此题在运用概率公式进行正确运算的基础上，还要对游戏的公平性进行判断，命题不仅考查学生运用概率知识解决实际问题的能力和意识，还考查了学生运用数据进行说理的能力.

4.综合统计知识，考查随机意识能力的培养

例17（安徽卷）“校园诗歌大赛”结束后，张老师和李老师将所有参赛选手的比赛成绩（得分均为整数）进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数直方图如图7、图8所示，部分信息如下.

图7

图8

（1）本次比赛参赛选手人数共有_____，扇形统计图中“69.5～79.5”这一组人数占总参赛人数的百分比为_______；

（2）赛前规定，成绩由高到低前60%的参赛选手获奖.某参赛选手的比赛成绩为78分，试判断他能否获奖，并说明理由；

（3）成绩前四名是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人作为获奖代表发言，试求恰好选中1男1女的概率.

【评析】在初中阶段，可以把概率看成是统计过程的一个阶段.如果把整个初中阶段的统计内容按照统计活动的过程来安排，概率的内容安排在分析数据阶段更合适.一个事件发生时，往往需要通过对数据的收集、整理、分析、描述，以及对事件发生的可能性的刻画，做出合理的决策，这在日常生活中应用非常广泛，历年中考命题中也以此作为命题点，综合考查统计与概率的关系.现今的命题思路中，若总体信息不容易获得，则只能利用样本对总体做出估计，这种情况中，通过统计调查获得频率，用频率值作为概率值的估计值，计算概率；若总体信息容易获得，如例17，命题者则会通过统计调查，随机在总体中选出几个个体，依据一定样本特征通过列表法或树状图法进行概率分析.

三、复习建议

综上可见，在2018年中考试题中对“事件的概率”的考查，紧扣《标准》的要求，又不断推陈出新，展现新的亮点，同时呈现出比较稳定的规律.但如何科学备考呢？笔者从以下三个方面给出建议.

1.扎根基础，理清“事件的概率”领域知识之间的内在联系，形成知识结构网络

从近几年全国各地的“事件的概率”的试题来看，考查单一知识点的试题很多，题型以选择题和填空题为主.试题仍以中低档形式呈现在中考试卷中，试题特点为：紧扣《标准》，对《标准》内容直接考查；求解方式直接、明了；涉及知识点较少，大部分为送分题.因此，建议中考复习要扎根基础，把教材中关于概率的知识点串起来，构建如图9所示的知识网络图，做到容易题不丢分.

图9

复习中，形成知识结构网络有利于学生对知识的存储和记忆，有利于学生在考试时对所学知识的提取和运用.知识结构网络由教师提出大的思路，先让学生自主尝试构建，然后再对照教材补充完善，最后师生之间进行比较、交流.同时对照知识结构让学生自己复习回忆知识点，并对照知识结构让学生自己尝试编题交流、猜测题型，加深对概率知识的理解.

2.针对“事件的概率”部分热点问题、薄弱环节进行专题强化训练

通过对2018年全国130份中考试卷的研究，“事件的概率”在所有知识模块中所占比重不大，题型较易，这也使概率的考查以基本概念及列举法求随机事件的概率为主，命题者往往以试题背景及情境的变化营造概率试题的创新与新颖，但概率本质的考查仍为根本，因此，对部分热点问题、薄弱环节进行专题强化训练就犹显重要.

概率试题中，选择题和填空题主要考査的是对知识的了解和理解层次，解答题主要考查的是对知识的掌握和运用层次，试题的综合性一般较强.因此，专题复习中教师一定要认真研究《标准》中涉及概率部分的要求，不要人为地拔高中考对该知识点的要求，也不要降低中考对该知识点的要求.在复习过程中，不要把习题收集得过多、过难，所选择的题目只要能覆盖考试要求中所涉及到的各个知识点并达到相应的能力要求即可.

3.重视综合，关注学生思维品质的培养

由于初中生受知识水平和思维水平的限制，从图表中获取信息的能力和阅读理解能力相对较弱，所以概率试题往往很容易做，学生却又不容易得分.在复习中，要紧扣《标准》要求，突出概率的核心知识和基本思想，关注概率的应用性及随机性，强化基本的解题训练，注重培养学生思维的严谨性和灵活性.尤其是结合生产、生活实际的试题，以及与统计、代数、几何等领域相结合的综合性题目，教师要引导学生剔除试题的问题背景，抓住试题反映的数学本质，从而提高解题的效率.