2018年中考“事件的概率”专题解题分析

（河南省商丘市第六中学）

随着近几年大数据概念的兴起和普及，通过数据分析，得出一个随机事件发生可能性的大小，从而做出正确判断，越来越普遍的应用在我们的生活当中.根据初中学段学生的心理特征，以研究简单随机事件的概率为主，在研究过程中加深学生对概念的认识，提高学生用数学分析问题、解决问题的意识和能力，从而使学生学会做出决策，提升数学素养.

一、试题命制标准、角度分析

整合2018年全国各地区中考试卷中与事件的概率相关的试题，发现其符合《义务教育数学课程标准（2011年版）》的规定，主要从五个点进行考查，即会区分不同事件发生的可能性；会通过直接列举求不确定事件的概率；会用列表法、画树状图法求不确定事件的概率；能用频率估计概率；统计与概率的结合.试题难度较低，学生得分率较高.

二、特色试题分析

2018年全国各地区中考试卷中关于事件的概率的试题，内容突出关注社会热点、彰显数学传统文化、走进学生身边、趣味游戏、竞技体育知识、联系实际等.试题有相对集中的内在特点.

1.考查概率概念的常识性应用，重在理解

例1（四川·南充卷）下列说法正确的是（ ）.

（A）调查某班学生的身高情况，适宜采用全面调查

（B）篮球队员在罚球线上投篮两次都未投中，这是不可能事件

（C）天气预报说明天的降水概率为95%，意味着明天一定下雨

（D）小南抛掷两次硬币都是正面向上，说明抛掷硬币正面向上的概率是1

答案：A.

例2（山东·淄博卷）下列语句描述的事件中，是随机事件的为（ ）.

（A）水能载舟，亦能覆舟

（B）只手遮天，偷天换日

（C）瓜熟蒂落，水到渠成

（D）心想事成，万事如意

答案：D.

【评析】以上两道试题主要对事件的分类和概率的意义进行考查.对事件的分类需要正确理解随机事件、必然事件、不可能事件等相关概念.概率的意义主要是大量重复某实验，平均每几次就有一次事件A发生，则事件A发生的概率为几分之一，概率是事件本身所固有的性质.在学习过程中，概率是一个与确定数学有明显差异的不好理解的概念.因此，学习过程中一定要注意对概念进行有效的思考、讨论，千万不能死记硬背，理解了才能灵活运用.

2.直接列举求简单随机事件的概率，突出基本技能

例3（湖北·宜昌卷）在“绿水青山就是金山银山”这句话中任选一个汉字，这个字是“绿”的概率为（ ）.

答案：B.

例4（山东·聊城卷）某十字路口设有交通信号灯，东西向信号灯的开启规律如下：红灯开启30秒后关闭，紧接着黄灯开启3秒后关闭，再紧接着绿灯开启42秒，按此规律循环下去.如果不考虑其他因素，当一辆汽车沿东西方向随机地行驶到该路口时，遇到绿灯的概率是______.

例5（四川·成都卷）汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.如图1所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的两直角边之比均为2∶3.现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为____.

图1

【评析】以上三道试题分别涉及时政热点、身边安全和传统文化，让学生体会到简单随机事件就在我们身边，试题背景非常新颖，贴近学生生活.不管是传统的几种问题情境（如摸球、转盘、掷骰子、抛硬币），还是生活化背景，都旨在考查学生对简单随机事件概率问题本质的理解.使学生树立模型思想，学会用模型去刻画生活.

3.用列表法、画树状图法求不确定事件的概率，突出能力

例6（浙江·湖州卷）某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行抽查.各组随机抽取辖区内某三个小区中的一个进行检查，则两个组合恰好抽到同一个小区的概率是（ ）.

答案：C.

例7（江苏·连云港卷）汤姆斯杯世界男子羽毛球团体赛小组赛比赛规则：两队之间进行五局比赛，其中三局单打，两局双打，五局比赛必须全部打完，赢得三局及以上的队获胜.假如甲、乙两队每局获胜的机会相同.

（1）若前四局双方战成2∶2，那么甲队最终获胜的概率是_______；

（2）现甲队在前两局比赛中已取得2∶0的领先，那么甲队最终获胜的概率是多少？

例8（山东·青岛卷）小明和小亮计划暑期结伴参加志愿者活动.小明想参加敬老服务活动，小亮想参加文明礼仪宣传活动.他们想通过做游戏来决定参加哪个活动，于是小明设计了一个游戏，游戏规则是：在三张完全相同的卡片上分别标记4，5，6三个数字，一人先从三张卡片中随机抽出一张，记下数字后放回，另一人再从中随机抽出一张，记下数字，若抽出的两张卡片标记的数字之和为偶数，则按照小明的想法参加敬老服务活动，若抽出的两张卡片标记的数字之和为奇数，则按照小亮的想法参加文明礼仪宣传活动.你认为这个游戏公平吗？试说明理由.

对于古典概型中的简单概率问题，不管用哪种方法，都要在等可能性的前提之下.

4.用频率估计概率，揭示频率和概率的本质关系，重视实验

例9（江苏·常州卷）中华文化源远流长，图2是中国古代文化符号的太极图，圆中的黑色部分和白色部分关于圆心中心对称.在圆内随机取一点，则此点取黑色部分的概率是________.

图2

例10（湖南·郴州卷）某瓷砖厂在相同条件下抽取部分瓷砖做耐磨实验，结果如表1所示.

表1

则这个厂生产的瓷砖是合格品的概率估计值是____.（精确到0.01.）

答案：0.95.

例11（湖南·永州卷）在一个不透明的盒子中装有n个球，它们除了颜色之外其他都没有区别，其中含有3个红球，每次摸球前，将盒中所有的球摇匀，然后随机摸出1个球，记下颜色后再放回盒中.通过大量重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.03，那么可以推算出n的值大约是________.

答案：100.

【评析】以上三道试题揭示的都是大数定律，即在大量重复实验的情况下，频率的稳定值即为概率值.这是统计与概率之间的纽带.例9是将几何概型转化为古典概型，由于这是一个中心对称图形，黑色部分占一半，推得取自黑色区域的概率值.例10随着实验次数的增加，频率会稳定在某一数值附近，它就是事件发生的概率.这里还考查了学生通过图表获取信息、分析数据的能力.例11还涉及方程思想.对于这类用频率估计概率的问题，不能靠讲，教师不妨选取有代表性的、易于操作的问题，拿出时间让学生亲自实验，虽然会花费很多时间，但是学生在这一过程中体验了频率与概率的关系、激发了学习兴趣、积累了宝贵的数学经验、提升了数学素养，这才是我们真正追求的.

5.统计与概率结合解决实际问题，旨在应用

例12（四川·遂宁卷）学习习近平总书记关于生态文明建设重要讲话，牢固树立“绿水青山就是金山银山”的科学观，让环保理念深入到学校.某校张老师为了了解本班学生3月植树成活情况，对本班全体学生进行了调查，并将调查结果分为三类：A：好；B：中；C：差.

试根据图3、图4中的信息，解答下列问题.

（1）求全班学生总人数；

（2）将如图3所示的条形统计图与如图4所示的扇形统计图补充完整；

图3

图4

（3）张老师在班上随机抽取了4名学生，其中A类1人、B类2人、C类1人，若再从这4人中随机抽取2人，试用画树状图或列表法求出全是B类学生的概率.

答案：（1）40人；

（2）补全图形分别如如5、图6所示；

图5

图6

【评析】此题是大中国时代的背景，意义深远.对收集好的数据进行描述，由部分与整体的关系可求全班人数.通过两个统计图的信息互补，可以计算并补全图形，重在考查学生的识图和绘图能力，这是考查统计图的重要形式.第（3）小题通过列表或画树状图的方式求出共有12种等可能的结果，这里要注意可能出现16种结果的错误，其实这是模型中的“不放回”抽取，它和“放回”抽取是有严格区别的，这里可针对“放回”“不放回”做针对性训练，以加深认识.

例13（山东·枣庄卷）现今“微信运动”被越来越多的人关注和喜爱，某兴趣小组随机调查了我市50名教师某日“微信运动”中的步数情况进行统计整理，绘制了如表2所示的统计表和如图7所示的统计图（不完整）.

表2

图7

根据以上信息，解答下列问题：

（1）写出a，b，c，d的值，并补全频数分布直方图；

（2）本市约有37 800名教师，用调查的样本数据估计日行走步数超过12 000步（包含12 000步）的教师人数有多少？

（3）若在50名被调查的教师中，选取日行走步数超过16 000步（包含16 000步）的两名教师与大家分享心得，求被选取的两名教师恰好都在20 000步（包含20 000步）以上的概率.

答案：（1）a=0.16，b=0.24，c=10，d=2；

（2）11 340；

例14（湖北·宜昌卷）某校创建“环保示范学校”，为了解全校学生参加环保类社团的意愿，在全校随机抽取了50名学生进行问卷调查.问卷给出了五个社团供学生选择（学生可根据自己的爱好选择一个社团，也可以不选）.对选择了社团的学生的问卷情况进行了统计.具体情况如表3所示.

表3

（1）填空：在统计表中，这5个数的中位数是______.

（2）根据以上信息，补全如图8所示的扇形图和如图9所示的条形图；

图8

图9

（3）该校有1 400名学生，根据调查统计情况，试估计全校有多少名学生愿意参加环保义工社团；

（4）若小诗和小雨两名同学在酵素制作社团或绿植养护社团中任意选择一个参加，试用树状图或列表法求出这两名同学同时选择绿植养护社团的概率.

答案：（1）10；

（2）补全图形分别如图10、图11所示；

图10

图11

（3）280名；

【评析】此题潜移默化地树立了学生的团队意识、提升了学生的环保意识，综合考查了中位数、扇形图、条形图、样本与总体和概率计算等知识点.要确定中位数，需要先排序；根据扇形图各百分比之和等于100%，可知“没选择”的占10%；根据部分与整体的关系，可求“没选择”的有5人；由于是随机抽取，所以样本具有代表性，由此可以估计全校愿意参加环保义工社团的学生；最后是概率问题，这里和前两道例题不同，它相当于是“可放回”模型，学习过程中一定注意准确把握概念，精准计算.

三、试题解法赏析

例15（浙江·嘉兴卷）小明和小红玩抛硬币游戏，连续抛两次，小明说：“如果两次都是正面，那么你赢；如果两次是一正一反，则我嬴.”小红赢的概率是__________，据此判断该游戏_____.（填“公平”或“不公平”）

解：所有可能出现的结果如表4所示.

表4

因为抛两枚硬币，所有机会均等的结果为（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），

因为二者概率不等，所以游戏不公平.

【评析】这里一定注意是四种等可能结果，对于古典概型的问题，都是以等可能性为前提的.这里类似的数学实验要舍得花时间让学生去做.

例16（广西·玉林卷）2018年5月13日是“母亲节”，某校开展“感恩母亲，做点家务”活动.为了了解同学们在母亲节这一天做家务的情况，学校随机抽查了部分同学，并用得到的数据制成如表5所示的不完整的统计表.

表5

（1）统计表中的x的值为______，y的值为______；

（2）小君计算被抽查同学做家务时间的平均数是这样的：

第二步：该问题中n=4，x1=0.5，x2=1，x3=1.5，x4=2，

小君计算的过程正确吗？如果不正确，试计算出正确的做家务时间的平均数；

（3）现从C，D两组中任选2人，求这2人都在D组中的概率（用树状图法或列表法）.

解：（1）抽查的总人数为15÷30%=50（人），

x=50×4%=2（人），

y=50×100%=50（人）.

（2）小君的计算过程不正确.

被抽查同学做家务时间的平均数为(15×0.5+30×1+2×1.5+3×2 )÷50=0.93（时）.

故被抽查同学做家务时间的平均数为0.93小时.

（3）C组有两人，不妨设为甲、乙，D组有三人，不妨设为A，B，C，列出树形图如图12所示.

图12

共有20种情况，其中2人都在D组的按情况有AB，AC，BA，BC，CA，CB，共6种，

【评析】这里考查了统计中的数据的整理和加权平均数，正确理解题意是解题的关键.统计与概率密不可分，其作为初中数学的四大领域之一，在未来的社会发展进程中，必将起到不可估量的作用.

综合前面的分析可知，概率是日常生活中的常见现象，但它又是一个与确定数学有明显差异的、较难理解的概念.因此，在日常学习过程中，要给予学生充分的时间进行有效的思考、讨论，使其理解其中蕴涵的数学思想，用思想指导行动，即会用概率的观点、随机观念来观察、分析世界.