由作法探索到折法实践——用“正方形纸片折黄金矩形”的教学及思考

（江苏省泰州中学附属初级中学）

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）提出了基本活动经验的目标，明确了动手实践也是学习数学的重要方式，为此我们开展了江苏省泰州市立项课题——初中数学活动课程体验教学模式实践研究.初中数学实验的目的一类是探索、验证数学结论；另一类是已知数学结论，探索具体的操作方法，积累操作的经验.为了研究第二类数学活动课的教学设计，在学生学习了苏科版《义务教育教科书·数学》九年级下册第六章“图形的相似”后，笔者上了一节“用正方形纸片折黄金矩形”的研讨课，在此与大家分享，望能抛砖引玉，不当之处，敬请同行批评指正.

一、教学过程回顾

1.图片欣赏，复习引入

教师展示雅典巴台农神殿和蒙娜丽莎图片分别如图1和图2所示.

图1

图2

师：同学们，从这两幅图片中，我们能看到什么？

生1：从图1中，我看到了历史的沧桑，巴台农神殿的古老；从图2中，我看到了蒙娜丽莎的美丽.

……

师：同学们，从不同的视角观察这两幅图，会得到不同的结论.也许我们只能直观地观察到一些显性的东西，其实这两幅图中还包含了很多隐性的数学元素.事实上，在巴台农神殿的设计上、蒙娜丽莎画作的人物结构上都采用了黄金矩形的元素.那什么是黄金矩形呢？让我们先回顾一下黄金分割的定义.

图3

图4

如图4，在矩形ABCD中，如果BC与AB（BC＜AB）的比为黄金比，则称其为黄金矩形.

师：我们现在知道什么是黄金矩形了，这节课我们就来探讨一下，如何用正方形纸片来折一个黄金矩形，为了能顺利完成本节课的学习任务，大家先和老师一起来思考下面的问题.

师：生2用黄金分割的定义说明了点B是AC的黄金分割点，回答得很好.这个问题的正确性，也就告诉我们在一条线段上添加一个点后，如果有两条线段的比等于黄金分割比，那么这个点就是这条线段的黄金分割点.这样我们就有了一个根据比值来判断黄金分割的方法.我们再继续思考下面的问题.

【教学反思】从实际教学活动来看，在观察图片时，大多数学生能说出图中的黄金矩形，但是对于一些显性的数学元素，反而说不出，究其原因是学生在学习相似时接触过这些图形，学生揣摩到了教师所要的答案，以致于没有达到答案多样性的目的，设计的悬念没有得到体现.这就告诉我们在选用素材时，要考虑到学生的实际情况，这样才能达到设计意图.在回答问题1时，学生有些不知道从何处入手，对二次根式的运算也不是很熟练，这恰恰说明了设计问题1、问题2的必要性.《标准》中对黄金分割的要求是“通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割”，所以教师在传授知识时，一般只停留在“了解”的层面，因此需要进行必要的复习及延伸，以适应后面问题的解决，我们要从学生已有的知识及其掌握的程度出发设计问题，以起到承上启下的作用.

2.由数到形，尺规找点

问题3：已知线段AC，你能用尺规作出线段AC的黄金分割点吗？

师：说说具体操作.

生5：以AC为一条直角边，作另一条直角边长为

师：回答得很好，下面我们一起来看下面的作法，并动手画一画.

（2）连接AD，在AD上截取DE=DC；

（3）在AC上截取AB=AE.

则点B是AC的黄金分割点.

图5

（2）连接AD，以点D为圆心，DA长为半径画圆交DC延长线于点E；

（3）以点C为圆心，CE长为半径画圆交AC于点B.

则点B是AC的黄金分割点.

图6

师：作法2实际上作的是线段AC的另一个黄金分割点，我们不妨称作法1为“截长法”，作法2为“补短法”.通过尺规作图我们已经能作出一条线段的黄金分割点，下面我们来看看怎样通过折纸的方法折出一个直角三角形纸片一条直角边的黄金分割点.

问题4：给你一张直角三角形的纸片ACD（如图7），且其两条直角边的比AC∶DC=2∶1，你能折出直角边AC的黄金分割点吗？

图7

师：大家拿出准备好的纸片，相互合作、讨论，尝试折叠.

图8

图9

图10

图11

图12

【教学反思】学生在解决问题3时感到难度很大，大多数学生是在教师的帮助下才得以解决问题.问题3难在由数到形的转换.如果再设计一些阶梯性问题，又担心会降低思维含量，因此解决问题的根本还在于平时要加强数形之间的联系，切实将基本的数学思想教学落到实处.问题4中，在由作法到折法过渡的过程中，可以感受到学生普遍动手能力较弱，拿着纸片东张西望，不知道如何下手.在经过第一次教学尝试后，笔者认为需要将折法的步骤列出，这样对大多数学生来说能起到降低难度的作用.学生动手能力弱还说明了以活动为载体的数学综合实践课的开设不足，没有引起足够的重视.在数学活动开展的整个过程中，学生会调动大量的知识储备，从而起到巩固、复习的作用.此外，数学活动的课题往往具有很强的开放性、探索性，对培养学生的学习能力、创新精神，以及创新意识都有很大的帮助.

3.画法探索，折法实践

师：我们由黄金分割点的画法，解决了问题4，现在我们来看问题5.

问题5：怎样用正方形纸片折黄金矩形？

生7：我们可以先在正方形上画出黄金矩形，然后再考虑怎么折.就是仿照问题4的解决方法.

师：生7给我们提供了解决这个问题的方向，我们不妨一试.

学生动手在正方形纸上画，教师巡视察看.几分钟后，教师提问.

师：谁来说说自己的画法.

生8：如图13，（1）取BC的中点E，连接DE；（2）在DE上截取EF=EC；（3）在DC上截取DG=DF；（4）过点G作DC的垂线交AB于点H，则四边形ADGH为黄金矩形.

图13

师：我们能将生8的画法转化为折纸的方法吗？大家拿出手中的正方形纸片，试一试！

同学们一会儿埋头折叠，一会儿相互交流，询问折法或相互探讨.

师：谁来说一下折叠的方法？

图14

图15

图16

图17

图18

图19

图20

图21

图22

师：虽然画法是比较直接的，但是通过折纸折出来，还不是容易的，难点主要在于将DF折到DC上.

师：如图23，如果我们将DF移到AD上，你能发现什么？

图23

生10：我发现如果在AD上截取DG=DF，那么点G，F，C共线，这样我们只要折出图17中△EFN的边EN上的高就可以了.

师：很好，点G，F，C共线的理由是什么？

生11：因为∠DGF=∠DFG，∠EFC=∠ECF，又因为∠GDF=∠CEF，所以∠DFG=∠EFC.因为∠EFC+∠DFC=180°，所以∠DFG+∠DFC=180°.所以G，C，F三点共线.

图24

图25

图26

图27

生12：可以.如图28，以BC边的中点E为圆心，ED长为半径画弧交CB的延长线（或交BC延长线）于点G，即可得所求（方式3）.

图28

有学生认为不可以，因为BG不在正方形的边上，所以没法折.

师：大家再仔细想一想.

图29

师：生13给出的折叠方法，要比方式1和方式2的折法都容易、简单，真可谓思之越深、解之越巧.具体的折叠过程大家在课后完成.

【教学反思】在这个阶段由于有前面的一些问题铺路，在画法的探索上还是比较顺利的，学生参与活动的积极性都比较高.主要问题是学生难于将已经获得的画法转化为实际操作的折法，其原因如前所述，在此不再重复.需要说明的是在学校课程计划中，安排一些数学活动课是非常有必要的，在由画法探索到折法实践的过程中，体现了学生对解决问题方法的思考，突出了解决问题的过程.我们在遇到一个具体操作的问题时，除非是一个熟悉的问题，否则，我们都必须思考怎样去操作，以及操作的步骤从何而来.我们必须进行理性的探索，寻找解决问题的方法，培养学生的创新意识及能力.将操作的程序画成流程图，在折痕上标上序号，让学生学会用图形和符号表达自己的想法，便于与大家共享，这些都体现了数学活动课对培养学生数学核心素养的作用.

4.读图理解，提炼经验

师：前面我们经历由作法到折黄金矩形的过程，下面老师给出一个折法，大家看看能不能得到黄金矩形.

问题6：将正方形纸片按如图30～37所示的方式折叠得到的四边形BCGK是否为黄金矩形（方式4）？

图30

图31

图32

图33

图34

图35

图36

图37

师：为什么点B，Q，G在同一条直线呢？

生14：由折法可知，EN垂直平分BF，FQ⊥EN，而过点F垂直于EN的直线只有一条，所以点B，Q，G在同一条直线上.

【教学反思】在第一次进行课堂教学的过程中发现，若几种折叠的方法都让学生完成，一方面，学生感到厌倦，提不起兴趣；另一方面，课堂时间不够.于是再一次进行课堂教学时，笔者呈现了问题6，由折法想图形特性，根据图形的特性解答问题.从课堂效果来看，比第一次要好，学生的观察能力、空间想象能力得到了培养.

5.小结提升，应用拓展

师：本节课我们经历了哪些过程？在这个过程中我们学到什么？积累了哪些经验？你还有哪些疑问？大家相互交流一下.最后老师留给大家一个问题在课后思考，相信大家通过今天的学习一定能够解决.

问题7：（1）你能用一张黄金矩形的纸片折出一个黄金矩形吗？如果能，试给出折法.

（2）试用一张长与宽的比不小于2的矩形纸片折出一个黄金矩形.

【教学反思】如果采用常见的“本节课你有哪些收获？”来发问，问题的指向过于宽广，不能突出重点.本节课主要是研究怎样用正方形纸片来折黄金矩形，所以笔者采用了关注研究过程的小结方式，总体感觉是学生说得比较零碎，这与日常教学的程序不完整，常常缺少小结的环节，或此环节由教师代劳有关.问学生积累了哪些经验，学生也不知道教师所问的“经验”指的是什么.我们可以将问题再问得具体一点.例如，怎样探索用纸片折几何图形的操作方法？等等.

二、教学思考

《标准》提出了基本活动经验的目标，指出学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜想、计算、推理、验证等活动过程，明确动手实践也是学习数学的一种重要方式.数学实验作为对数学日常教学的补充，能带领学生走进有趣的、好玩的数学世界，通过“做”数学实验体验发现的乐趣，感悟数学的真谛，发展学生的数学思维和智慧，提高学生的实践能力和创新意识，使学生逐步积累数学活动经验.数学实验已经逐渐被广大一线教师认可并付诸行动，积极探索数学实验的素材.

1.定起点、瞄终点，问题铺路

若实验教学的起点太低，学生会觉得没有探究的必要，不能激起学生学习、参与的欲望；若起点太高，学生则无法将要解决的问题与已有的知识经验联系起来，找不到解决问题的方向，于是丧失了进一步学习的动力.本节课的教学是在学生学习了“图形的相似”这一章的内容后进行的，学生已经了解了黄金分割、黄金比、相似的判断及性质等知识，所以起点定在从复习相关知识开始，由旧知识引入新问题.如果一开始就让学生用正方形纸折黄金矩形，因为学生没有这方面的经验，不知道怎么折，所以就会无从下手，不知所措.第一次进行课堂教学时，笔者没有设计问题4，由于操作经验缺乏，没能顺利完成预设目标，所以后来设计了问题4，让学生先获得一些必要的操作经验，然后类比到折黄金矩形的方式1中，降低操作的难度.设计线段黄金分割点的两种画法，也是为方式1、方式2、方式3的作法的分析铺垫，是将已经获得的知识向后延伸、迁移，形成问题串，每个问题都指向最终要解决的问题，形成连接最终问题的通道.

2.先作法、后折法，问题解决

用正方形纸片折黄金矩形这个课题对学生来说是新的挑战、新的体验.学生看到这个课题感觉很困难，不知道要如何入手，其原因是折黄金矩形不仅需要学生的操作能力作为支撑，更重要的是学生要手脑并用.在思考怎么折的时候，本节课给出了思考此类问题的一种方法，就是从问题的作法入手，然后通过作法再考虑如何折.从作法到折法，不是简单的复制.由于一些现实原因，会导致作法可行，但对应的折法不能够实施.在探索问题的作法时，学生首先要运用已有的数学知识，通过分析、计算、推理等以脑部思维为主的活动探索出作法，再过渡到有实物参与的实践活动.这样的数学活动是学生在教师的主导下，从问题（或问题情境）出发进行探索所经历的学习活动，同时具备了数学活动的两种形式，所以选择这种从作法到折法的问题进行数学活动教学，要比单纯的按图示程序操作，再验证数学结论的数学活动更具挑战性，更能培养学生的综合素养.本节课中，从黄金矩形应满足的相邻两边的比入手，先通过探索作法构图，在作法的探索过程中，运用了勾股定理，相似三角形的判断、性质，等腰三角形的相关知识等，体现了数形结合、类比等思想方法.由构成的图形思考怎样去折叠以达到所构成的图形，再折叠出正方形一边上的黄金分割点.方式1和方式2均是直接构造出的实线段，而方式3构造了一条虚线段（不在正方形中）.在折叠的过程中，将由尺规作线段的方法转化为折叠的方法，培养了学生的动手能力、空间想象能力，帮助学生积累了数学活动经验与技能.例如，在折痕上标上序号，使得我们在尝试折法时，不必单纯凭记忆去记折叠的顺序.通过多种方式用正方形折叠黄金矩形，使学生体会到解决问题的多样性，并通过比较，得到了更多的经验和感悟.方式4改变了呈现的方式，即给出折叠的程序，验证折法的正确性.在验证折叠方法的正确性时，学生需要将操作方法转化为数学问题的条件，学生的观察能力得到了培养，学生的认识从感性上升到了理性.

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