问题导引 自然探究*——苏教版五下《圆的认识》教学实录与思考

古希腊毕达哥拉斯学派认为，一切平面图形中最美的是圆形。从数学家的角度看，圆的美可能不仅指美学意义上的平衡、对称、和谐、圆满等，还在于圆较之其他图形蕴含着更为丰富的知识内容，涉及更多数学对象，对数学发展的作用更大。从小学数学教学的角度看，圆是小学阶段学习的第一个由曲线围成的图形，它对学生的发展价值有别于由直线围成的几何图形。所以，它是进行数学教学研究的一座富矿，许多数学教师都用它来展示自己的教学理念、教学主张。本节课以苏教版教材为依据，在借鉴既有研究成果的基础上确立自己的教学思路，即以问题导引，让学生自然地探究。

【教学过程】

一、引入

（课件出示苏教版五下第87页《你知道吗》栏目的图片。）

师：这些现象、物体和运动中隐藏着一种同样的图形，它是什么图形？

生：圆形。

师：今天，我们就一起来认识圆。（板书：圆的认识）

利用教材《你知道吗》栏目中的生活内容引入圆，简洁高效。

二、探究

1.画圆：探究圆的特征。

（1）在比较中初步认识圆

师：我们以前学过哪些平面图形？

生：长方形、正方形、三角形……

师：圆形与它们相比有什么相同和不同之处？

生：它们都是由线围成的图形。不同的是圆没有角，边是弯曲的；长方形、正方形都有角，边是直的。

师：说得真好！圆是由弯曲的线围成的图形。（在黑板上随手画一条弯曲线）这条曲线是不是我们随便画的弯曲线呢？

生：不是随便画的。

（2）自主画圆

师：你能画出一个圆吗？你打算怎样画？

（学生画圆，教师巡视。）

师：你是怎么画的？谁来介绍一下？

（学生有照着一个圆片描出来的，有拉线移动画的，有用圆规画的，有直接用手画的……教师选择随手画、照样子描、线栓笔画、圆规画四种情况展示。）

师：这几种方法你喜欢哪一种？为什么？

生：我喜欢照样子描，这样最简单，画得很标准。

师：这种画法有没有不好的地方？

生：它只能画这么大，不能任意改变大小。

师：有没有人喜欢别的方法？

生：我喜欢用圆规画圆，这样最方便、最标准，而且可以任意改变大小。

师：大家都这么认为吗？（生纷纷点头）哈，都是这样看，我也是这样认为的。圆规就是专门用来画圆的，用它可以标准、便捷、任意改变大小地画圆。有没有人喜欢这种用线拴着笔，然后移动笔画圆的？（生纷纷摇头）没有？大家为什么不喜欢？

生：太麻烦了，还要用手按着中间，而且稍微动一下就不标准了。

师：有道理！那这种方法有没有优点呢？

（教师点击课件，播放学生在操场上画大圆的视频。）

生：拉长线可以画比较大的圆。

师：看来每种方法都有优缺点。照样子描比较省事，但不能任意改变大小；用拉线的方法可以画比较大的圆，但没有圆规方便；用圆规画圆比较便捷而且标准，但不能画得很大；随手画的圆不标准，但省事，在画示意图的时候也可以用。所以，凡事要一分为二地看。

师：请大家说说，用圆规画圆时要注意什么？

生：要把圆规两脚分开，定好两脚间的距离。有针尖的脚要固定在一点上，旋转圆规时两脚间的距离不能变。

师：好，请大家按照刚才说的，用圆规在练习本上画一个圆。

（3）介绍圆规画法和圆心、半径、直径

师：老师也用圆规画了一个圆，请看，中心这个点叫什么？

生：圆心。

师：对，叫圆心，通常用字母O表示。关于圆，你还知道哪些名称？

生：我还知道半径和直径。

师：你能上来画一下吗？

（学生上黑板画，教师标注：半径r、直径d。）

师：仔细观察半径与直径，你能发现什么？

生1：圆心是直径的中点，直径两个端点都在圆上；半径一端是圆心，另一端在圆上；一个圆可以画很多条直径。

生2：直径长度是半径的2倍。

师：怎么证明？

生2：一条直径就是两条半径接起来的。

师：是的，一眼就看出来了。（板书：d=2r）还有别的发现吗？

生3：直径是圆上两点间最长的线段。

师：这是什么意思？你解释一下。

生3：就是在圆上不管你怎么画线段都不会比直径长。

师：这是真的吗？你怎么证明？

（学生上黑板，在圆上画线段，并解说：你可以随便测量一条线段的长度，它都没有直径长，最多和直径一样长。）

师：确实是这样。

（教师演示课件，解说图1。板书：直径是圆上两点间最长的线段。）

（图1）

师：大家还有什么发现？

生4：直径是圆的对称轴，沿着直径对折，两边能重合。

师：哈，你不仅发现直径是对称轴，而且给出了理由。真棒！（板书：对称轴）

师：你能用圆规画一个直径为5厘米的圆吗？请标出 O、r、d。

（展示点评学生所画的圆。）

通过与由直的线段围成的图形进行比较，凸显圆是由曲线围成的图形的特点。直边图形可以用直尺来画，那圆这个由曲线围成的图形怎么画呢？这个疑问自然地出现了，画圆的需要也就产生了。教师放手让学生用自己喜欢的方式画圆，然后分析各种方法的优缺点，帮助学生辩证地看待事物。利用学生既有的知识经验，引出半径和直径，通过聚焦圆的半径和直径来探究圆的特征。

2.套圆：深化理解特征。

（1）自主尝试在小圆外套画一个大圆

师：我这儿有个小圆，是照一个圆片描出来的，你能在它外面画一个大一点的圆正好把它套在正中间吗？

（学生独立解决，教师巡视，选择学生的作业（如图2）进行展示。）

（图2）

师：大家仔细观察，你觉得这位同学画的大圆正好把小圆套在正中间了吗？

生：有一点偏。

师：怎样才能将小圆套在正中间呢？小组讨论讨论。

（2）小组合作找圆心

师：哪个小组汇报？

生：我们组是这样做的，先画出一条直径，再量出它的长度是2厘米，半径就是1厘米，所以这就是圆心。

师：噢，原来他们是先找小圆的圆心，然后画的。大家同意他们的方法吗？都同意？我也同意。只要找到小圆的圆心就好办了。但是，你们怎么知道这条线段就是直径呢？

生：因为圆上最长的线段就是直径，我们试验了，它就是最长的。

师：哦，你们是用刚才找直径的方法找到的啊。其实，还有一种更快捷的方法来找直径。

（课件演示图 3，教师讲解。）

（图3）

师：找到小圆的圆心就容易画出外面的大圆了。两个圆的圆心相同，我们叫它们同心圆。

本环节继续深度认识圆的特征，这个行为不是直白地向学生提出要求，而是精心设计了一个类似游戏的任务——在未知圆心的小圆外套一个大圆来实现的。“套圆”任务等价于寻找圆心，等价于在圆上寻找直径，其实质就是直径是圆上最长的线段，长度是半径的2倍。“套圆”是包裹在圆知识外面的“糖衣”，使学生很想去品尝。

三、深化

1.画一个圆，让 A、B 两个点（如图4）都在圆上。学生独立尝试，教师巡视指导，学生汇报。

（图4）

师：还有不同的画法吗？（课件演示图5）这些圆都是经过这两个点的，这些圆的排列有什么规律？

（图5）

2.在生活中，车轮为什么要做成圆形？

生：圆形的车轮容易滚动；滚起来比较平稳，不会上上下下的。

师：为什么圆形的车轮就比较平稳，不会上下颠簸呢？你能用所学的知识解释一下吗？

生：……

师（播放课件演示）：我们在车轮上任意取A、B、C三个点（如图6），当车轮从A点着地滚到B点或C点着地时，车轮中心O点距地面的高度会不会变化？

（图6）

生：不会，高度一样？

师：为什么？

生：OA、OB和OC是相等的，因为它们都是圆的半径，圆的半径都相等。

师：是的。圆的半径都相等实际上就是说圆上的任意点到圆心的距离都相等，所以我国古代的数学家说：“圆，一中同长也。”

3.拓展：生活中的圆形物体非常多，如窨井盖、水管横截面等，你能用圆的一些知识来解释解释吗？课后大家可以去探索研究。

【教后反思】

1.理念：化陈述为探究。

数学知识总体上可以分为陈述性知识和程序性知识两大类，像“圆的认识”这类知识就属于前者，教材编排这类知识时往往采用陈述的方式，具体为：呈现生活中的相关事物→抽象出数学图形→介绍图形各部分名称→通过观察和操作活动认识特征→练习，强化理解。一些教师在教学这类知识时，往往习惯于按照教材的方式向学生进行知识的陈述，学生则进行有意义接受学习——了解是什么、理解为什么。其实，陈述性知识也可以进行探究式教学，让学生在主动观察、操作、猜想、尝试和验证的过程中发现它是什么、为什么是这样。就本节课教学而言，在学生经历观察圆、画圆、观察和发现直径、半径及其关系的过程后，又精心设计了“套圆”环节，使学生进行了兴趣盎然的探究学习。

2.实施：问题导引学生探究。

问题不仅能激发学生探究的兴趣，还导引着学生的探究行为。在引入环节，以“这些现象、物体和运动中隐藏着一种同样的图形，它是什么图形？”这一问题，让学生从日常生活中抽象出圆的概念和图形。探究环节设计了三个问题：圆形与由直的线段围成的图形相比有什么相同和不同之处？你打算怎样画？怎样才能画一个大圆将小圆套在正中间？第一个问题通过比较，让学生发现圆是由曲线围成的特征。第二个问题比较开放，让学生开动脑筋，个性化地画圆。对这些不同画法的比较分析，让学生认识到各种画法的优劣之处，有利于他们形成辩证的观念。同时，在进行这些操作和比较的过程中，已经向学生渗透了一些圆的知识，例如：圆的大小与圆规两脚之间的距离有关，与拉的线的长度有关；用手画圆时，铅笔尖应围绕着一个中心，尽量保持和中心相同的距离；等等。这些其实就是对半径、圆心等知识的感性认识。深化环节也有三个问题：第一个问题是在探究中不断深化学生对圆的知识的认识；第二个问题是让学生主动运用所学知识解释生活现象，这有助于发展学生在复杂的生活情境中运用知识的能力；第三题继续拓展学生的探究活动，让学生带着疑问走出课堂。