含空隙沥青混凝土弹性模量预测的数值方法

王亿平郑建军

(1.浙江工业大学 建筑工程学院，浙江 杭州 310023；2.浙江省工程结构与防灾减灾技术研究重点实验室，浙江 杭州 310023)

沥青混凝土具有多尺度、多相特征，每相组分的力学特性和体积分数以及各相组分之间的相互作用都会影响沥青混凝土的宏观力学性能。沥青混凝土已广泛应用于道路工程，其弹性模量是路面材料设计的重要参数之一。因此，沥青混凝土弹性模量及与各组分力学特性和体积分数之间的定量关系是材料优化设计的基础[1-2]。

目前，确定含空隙沥青混凝土弹性模量主要通过实验室试验和各种经验公式。但实验室试验过程复杂、耗时长，而每个经验公式又都有其特定的适用范围，如果试验条件与实际使用情况有所出入，可能会引起工程设计不能接受的误差。近年来，国内外学者从细观力学原理出发分析沥青混凝土弹性模量。Li等[3]提出两层嵌入式细观力学模型，导出沥青混凝土杨氏模量的解析解，但泊松比仍近似估计。Li等[4]提出了沥青混凝土弹性模量估算的两步法，第1 步将细骨料模拟成球形夹杂物，填料和胶凝材料模拟成基体；第2 步将粗骨料模拟成球形夹杂物，细骨料、填料和胶凝材料模拟成基体，但没有考虑空隙的影响。朱兴一等[5]基于复合材料细观力学方法，将各级粒径骨料与空隙逐一投入，然后均匀化，获得沥青混凝土杨氏模量和剪切模量，但忽略了界面层的影响。在这些研究中，骨料均假设为圆形或球形，与实际骨料(如碎石)的形状存在一定的差异，忽略了界面层，也没有考虑空隙水饱和度的影响。在前人工作的基础上，笔者将骨料模拟成多边形，考虑界面层、空隙和空隙水饱和度的影响，应用快速傅里叶变换提出了含空隙沥青混凝土弹性模量预测的数值方法。

1 多边形骨料混凝土弹性模量

1.1 多边形骨料分布模拟

混凝土中的骨料经常采用碎石，属于不规则的多面体，在二维平面上可以模拟成多边形[6]。在模拟骨料分布时，先选定一个正方形模拟单元，建立极坐标系，确定骨料的边数、极角和极半径。再依次将骨料按粒径由大到小投放到正方形区域中，要求任何两个骨料都不能相互重叠[7]。为了消除骨料分布的边壁效应，在正方形单元的每条边上引入周期性边界条件[8]。作为算例，选定边长为200 mm的正方形，骨料粒径为4.75～19 mm，骨料边数为4～10，图1为骨料面积分数为40%时多边形骨料分布的模拟图，与实际混凝土截面上的骨料分布非常相近。

图1 多边形骨料分布图Fig.1 Distribution of polygonal aggregates

1.2 弹性模量计算的基本原理

假设非均质混凝土各点的弹性张量Cijkl(x1,x2)是坐标(x1,x2)的函数，则各点的应力—应变关系为

(1)

(2)

引入格林张量Γijkl(x1,x2)，式(1)的解[9]可表示成

(3)

式中“*”表示卷积，对式(3)进行傅里叶变换有

(4)

(5)

1.3 数值迭代法

对于多相混凝土，其弹性模量可由下列迭代法求解：

4) 计算各点的面积加权应变和应力，最后获得多相混凝土弹性模量。

2 含空隙沥青混凝土弹性模量

含空隙沥青混凝土由沥青砂浆、粗骨料、空隙和界面四相组成，由于粗骨料尺寸远大于空隙尺寸，要进行分级模拟。为此，笔者提出弹性模量计算的两步法：1) 先考虑由空隙和沥青砂浆所组成的两相复合材料，其中，空隙为夹杂相，沥青砂浆为基体，通过解析法计算其弹性模量；2) 再把含空隙沥青混凝土模拟成含空隙沥青砂浆、界面和粗骨料所组成的三相复合材料，通过数值方法计算其弹性模量。

2.1 含空隙沥青砂浆弹性模量

设沥青混凝土中沥青砂浆和空隙的体积分数分别为fam和fav，则空隙在沥青砂浆中的体积分数为

(6)

再设空隙水的饱和度为S，则含空隙沥青砂浆的体积模量Kamav和剪切模量Gamav[10]可表示成

(7)

(8)

式中：Kam，Gam分别为沥青砂浆的体积模量和剪切模量；Kw为水的体积模量，一般取2.25 GPa；系数β，η[11]分别为

(9)

(10)

这样，就可以计算含空隙沥青砂浆的杨氏模量Eamav和泊松比νamav分别为

(11)

(12)

2.2 含空隙沥青混凝土弹性模量

正如上面所述，把含空隙沥青混凝土看成是由含空隙沥青砂浆、界面和粗骨料所组成的三相复合材料，其弹性模量通过下列步骤获得：

1) 将正方形模拟单元划分成2M×2M个小正方形单元，M为快速傅里叶算法中像素点个数的指数，取每个小单元的中心为单元的像素点。

2) 若像素点位于粗骨料内，该点杨氏模量取粗骨料的杨氏模量Eagg；若像素点位于界面层内，该点杨氏模量取界面层的杨氏模量Eitz；若像素点位于含空隙沥青砂浆内，该点杨氏模量取Eamav。

3) 再根据1.3节所提出的多相混凝土弹性模量计算的迭代法计算含空隙沥青混凝土杨氏模量Eacav。

3 试验验证

3.1 试验验证

选择Li等[4]的试验结果来检验笔者数值方法的精度。在他们的试验中，沥青体积分数为4.2%，当温度为25 ℃，油石比(沥青与矿料的质量比)分别为3%，4%，5%，6%时，沥青砂浆的杨氏模量分别为2 384，1 954，1 340，1 034 MPa。粒径位于0.15～4.75 mm的细骨料视为沥青砂浆材料的一部分。各级粗骨料的体积分数[5]如表1所示，杨氏模量为40 GPa，泊松比对结果影响不大，取0.2[12]。空隙率为3%，假设空隙中的水全饱和，S等于1.0。界面区杨氏模量为35 GPa，界面区厚度取20 μm[13]，泊松比取0.3。数值模拟与试验结果的比较如表2所示。从表2可以看出：数值模拟与试验结果良好吻合，当油石比分别为3%，4%，5%，6%时，它们之间的相对误差分别为1.41%，4.54%，1.71%，2.12%。因此，数值模拟具有较高的精度。

表1 粗骨料体积分数Table 1 Coarse aggregate volume fractions

表2 数值模拟与试验结果比较

Table 2 Comparison between numerical simulations and experimental results

油石比/%3456弹性模量试验数据/GPa5.7604.7394.6273.870弹性模量数值模拟/GPa5.8414.9544.7063.952

3.2 影响因素分析

从上面的分析可以看出：诸多因素影响沥青混凝土的弹性模量，但下面着重分析骨料形状、界面厚度以及空隙水饱和度等对弹性模量的影响。分析时，考虑富勒级配粗骨料[14]，杨氏模量为50 GPa，泊松比取0.2，沥青砂浆杨氏模量为1.5 GPa，泊松比取0.3，界面杨氏模量为35 GPa，泊松比为0.3。

图2 骨料形状对弹性模量的影响Fig.2 Effect of aggregate shape on elastic modulus

首先分析骨料形状的影响。设粗骨料体积分数分别为45%，55%，65%，长细比(多边形骨料最小粒径所对应的外接矩形的长与宽之比)分别为1，2，3，界面厚度为20 μm，空隙率φ为3%，空隙水全饱和，即S取1.0，结果如图2所示。从图2可以看出：当粗骨料体积分数一定时，弹性模量随长细比增大而降低。这是因为长细比越大，界面体积分数越低[14]，而界面杨氏模量高于沥青砂浆的杨氏模量，所以沥青混凝土杨氏模量也越低。当粗骨料体积分数为45%，55%，65%时，长细比为3时的弹性模量比长细比为1时的弹性模量分别低3.17%，5.18%，3.74%。

其次分析界面厚度的影响。设粗骨料体积分数为35%～65%，长细比为2，界面厚度分别为5，12，20 μm，空隙率φ为3%，空隙水全饱和，即S取1.0，结果如图3所示。从图3可以看出：当粗骨料体积分数一定时，弹性模量随界面厚度增大而增大。这是因为界面厚度越大，界面体积分数也越大[14]。当粗骨料体积分数为35%，45%，55%，65%时，界面厚度为20 μm时的弹性模量比界面厚度为5 μm时的弹性模量分别高3.59%，4.63%，5.50%，8.78%。

图3 界面厚度对弹性模量的影响Fig.3 Effect of ITZ thickness on elastic modulus

最后分析空隙水饱和度的影响。设粗骨料体积分数为35%～65%，长细比为2，界面厚度为20 μm，空隙率φ为7%，空隙水饱和度S分别取0，0.5，1.0，结果如图4所示。从图4可以看出：当粗骨料体积分数一定时，弹性模量随着空隙水饱和度的增大而增大。这是因为空隙水饱和度越大，含水空隙的体积模量也越大。当粗骨料体积分数为35%，45%，55%，65%时，空隙水饱和度为1.0时的弹性模量比空隙水饱和度为0时的弹性模量分别高4.00%，6.59%，5.43%，4.88%。

图4 空隙水饱和度对弹性模量的影响Fig.4 Effect of degree of saturation on elastic modulus

4 结 论

将解析解与数值解相结合，提出了含空隙沥青混凝土弹性模量计算的数值方法，该方法的主要优点是考虑了骨料形状、界面以及空隙水饱和度的影响。通过与试验结果比较，证实了该数值方法的有效性。基于3 个数值算例，讨论了骨料形状、界面厚度以及空隙水饱和度对沥青混凝土弹性模量的影响。结果表明：当粗骨料体积分数分别为45%，55%，65%，粗骨料长细比从3减小到1时，沥青混凝土弹性模量分别降低3.17%，5.18%，3.74%；当粗骨料体积分数分别为35%，45%，55%，65%，界面厚度从20 μm减小到5 μm时，沥青混凝土弹性模量分别减小3.59%，4.63%，5.50%，8.78%；当粗骨料体积分数为35%，45%，55%，65%，空隙水饱和度从0增大到1.0时，沥青混凝土弹性模量分别增大4.00%，6.59%，5.43%，4.88%。因此，为了提高沥青混凝土的弹性模量，在材料设计时应尽量增大界面厚度和采用长细比接近1的粗骨料。