你若探究，题自解开

钱鹏

摘要：本文以一道河南模拟解几题为例，从不同角度进行探究，意在体现由一题通一类，提升数学能力，养威良好的思维方法.

关键词：探究;最值;距离

解析几何问题往往沿续初中平面几何中点、线段、直线以及平面几何图形等的关系，结合平面几何的方法或坐标法来处理一些相应的问题，特别是一些相应的最值问题等，越来越成为命题者青睐的考点之一，特别，此类问题往往是创新的重要场所之一，通过巧妙设置来综合应用.

1 问题呈现

问题（河南省中原名校2019届高三第一次教学指导卷.15）已经线段IABI =24，直线l//AB，且直线Z到AB的距离为5，P为直线l上任意一点，则|AP|×|BP|的最小值为______.

本题既有初中平面几何的问题背景，又有高中解析几何的问题定位，巧妙把初中平面几何与高中解析几何加以交汇，延续初中与高中数学知识的连续性与综合性，具有一定的创新与综合功能.

2多 维探究

探究1不同的问题切入视角会有不同的思考，对应不同的解法.那么，本题有哪些不同的解法呢？

解法1 （坐标法）通过建立平面直角坐标系，引入坐标，利用点的坐标以及两点间的距离公式建立相应的两线段的乘积|AP|×|BP|的坐标关系式，通过转化，利用配方，结合二次函数的图象与性质来确定相应的最值问题.

如图1，以线段AB所在的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A（-12，0），B（12，0），设P（x，5）（X∈R），则有

解法2 （三角法）通过作图，利用三角函数的定义，结合|AB|=|AC|+|BC|引入对应的三角关系式，并通过三角恒等变换加以转化，再利用两线段的乘积IAPI×IBPI的三角关系式的变换，利用三角函数的图象与性质来确定相应的最值问题.

如图2，过点P作PC ⊥AB交AB于点G，可知|PC| =5，则有

解法3 （等面积法）通过三角形的面积公式，利用等面积法思维的转化来建立相应的关系式，进而把两线段的乘积|AP|×|BP|转化为相应的三角关系式问题，利用三角函数的图象与性质来确定相应的最值问题.

探究2 将题中有关两线段的乘积|AP|×|BP|转化为两线段的和|AP|+|BP|或其他相关形式，回归初中平面几何知识，会得到怎样的相关问题？

问题l 已经线段IABI =24，直线l//AB，且直线Z到AB的距离为5，P为直线l上任意一点，则|AP|+| BP|的最小值为____.

解析 如图3，作点B关于直线Z的对称点C，则知|BP|=| CP|.

通过探究，进行一题多解、一题多变等的拓展与應用，使学生通过解一道解几最值的模拟题，达到解一组数学题、一类数学题的目的，复习总结了数学知识，又提升了数学能力，为学生养成良好的思维方法做了有益的尝试.美国著名数学家哈尔莫斯曾说过：问题是数学的心脏.对学生来说，如何确定解题思维，把问题归结到同一个熟悉的“问题”来处理是关键，也就是解题方法与技巧，以不变应万变，熟练解决问题，

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[2]韩文美.细品真题多解拓展[J].广东教育（高中版），2018（11）：32 -35.