租船问题研究

广东省广州市天府路小学 陈欣言

在义务教育教科书数学四年级下册第一单元《四则运算》的例5（课本第10 页），主题是租船问题：游客有32 人，大船30 元每艘，可载6 人，小船24 元每艘，可载4 人，问怎么租船租金最少？课本上的策略是通过计算和比较得出结论：先尽量租人均价格便宜的船，再考虑不留空位，就会最省钱，这样得到的方案是大船4 艘，小船2 艘。

经过思考，我想到不通过计算，画图也可以得出最便宜的方案。○表示一艘大船的价格，△表示一艘小船的价格，显然有：○＞△。全部租大船：32÷6=5（艘）……2（人），至多需要大船5+1=6（艘），用6 个○表示；5 艘大船和1 艘小船用5 个○、1 △个表示，下面类同，所有的方案表示如图1：

图1

怎么比较它们的成本呢？我采用分组比较的方法，如图2：

图2

在每组中扣除相同的部分，又已知小船便宜，显然，第一组中3便宜；第二组中5 便宜；第三组中7 便宜。因此只要比较3、5、7。

先比较5 和7：

我再想了一下，如果把题目的条件改一下变成“游客有33 人”会怎样呢？显然不可能没有空位，因为游客是奇数，大小船载客都是偶数，那应该怎么办呢？这样一来，最省钱的方案应该是5 艘大船和1 艘小船（比4 艘大船和3 艘小船便宜）。为了研究一下这个结论是否正确，我继续使用画图列表法，把所有可行方案都列出来，如图3：

图3

同样进行分组比较（如图4 所示）：第一组中2 便宜；第二组中4 便宜；第三组中6 便宜。再比较2、4、6、7，显然2 比4 便宜，4比6 便宜，6 比7 便宜，所以，最便宜的方案就是5 艘大船和1 艘小船。

图4

每一组去掉相同部分，可知第一组中2 便宜；第二组中4 便宜；第三组中6 便宜。再比较2、4、6、7，也可以得知：2 比4 便宜，4比6 便宜，6 比7 便宜，所以，最便宜的方案就是5 艘大船和1 艘小船。

接着，我又把课本题目的条件改了一下，游客还是32 人，但是小船的价格改为48 元，大船不变，这样的话全部租大船反而是最便宜的了（虽然大船上留有空位），原来没有空位的4 条大船和2 条小船反而不是最便宜的了。

看来，这种题目还是需要画图列表法才能筛选出最省钱的方案！但画图列表法本质上是穷举，如果题目的数字很大就要花很多时间了。我研究了几天，找到了一种改进的方法，我把它叫作“凑整替换法”。如课本上的题目条件不变，先考虑全部使用贵的小船，此时需要8 艘，然后把小船分组拼团，一组内小船的数量需要满足能完整（不留空位）的用大船替换的条件（本质上是求大船载客数和小船载客数的最小公倍数），如题大船载客6 人，小船载客4 人，一个分组内的载客数就是12 人，此时需小船3 艘，能被2 艘大船完整替换。替换之后每组的成本肯定是降到最低的，只需要对最后余下来的人数进行列表法穷举就行了，如图5 所示：

图5

对余下的2 艘小船（8 人）进行画图列表法穷举，如图6：

图6

显然，1是最便宜的方案。如果小船价格改为48元，就是3最便宜。如果人数改为33 人，价格不变，余下就是3 艘小船共9 人，这时2最省钱，也就是图3 条件下得到5 艘大船和1 艘小船的方案。

一道简单的数学课本题目，改动一个数据，参考量影响因子也会变化，所以对方法要理解到位，不能生搬硬套方法和结论。另外，一种分析策略也可以通过不断优化，实现更简洁的解题方法和思考过程。