浅谈初中代数式最值的求解技巧

曾立萱

摘 要：在生活实践中，人们经常面对带有“最”字的问题。求某个量或者几个量和、差、积、商的最大值或最小值，是数学中的常见类型。解决最值问题的方法灵活多样，常有穷举法、利用函数性质、配方法、根的判别式法与韦达定理法、运用基本不等式法、换元法等。

关键词：最值 穷举 函数模型 根的判别式

在生活实践中，人们经常面对带有“最”字的问题，如花费最低，面积最小，产值最高，获利最大等。近年来各地中考题中最值问题更是频频出现，问题背景新颖，常出现的最值问题有应用题、几何动态、函数最值等。在初中数学竞赛中整式、分式、二次根式、函数、多元方程等形式也常求某个变量或特殊结构代数式的值。最值问题构题精妙，牵涉的知识点多，解题方法灵活多变。下面就本人在初中阶段的教学谈谈较常见的最值问题的求解方法，以便大家举一反三。

一、直接代入计算，穷举获取法。

例1：已知点A（1，a），B（-2，b），C（0，c）都在函数的图像上，求的最大值。

分析：将三个点代入函数解析式，易知，所以的最大值是3

二、建立函数模型求最值：利用函数图像的增减性。

初中阶段的重点函数是一次函数与二次函数，利用函数的单调性来解决应用性问题的最值，要注意先引入变量，列出函数关系式，尤其要注意求出自变量的取值范围及区间范围对最值的影响。在例1中可知一次函数中0，所以由一次函数图像的性质知随着的增大而减小，又因为，所以，所以的最大值是，再求出。2018年福建中考数学第23题重点考查了二次函数的区间最值。

五、用放缩法求代数式的最值

这种方法在在高中数学中用得较多，这里就不再举例说明。

从以上分析论述可知：最值问题的解决并不是绝对孤立不变，有时可以一题多解；有时需要多种方法一起使用才能灵活解决问题。解题时，要仔细观测代数式的结构特点，以便选择合理的解題方法，做到快速解题。同时要说明最值在什么情况下可以达到，以养成严谨思维的习惯。