函数y=A sin(ωx+φ)+b 的确立及性质研究

山东省滨州市滨城区第二中学 王建波 刘金月

函数y=A sin(ωx+φ)+b 的图像，可由函数y=sin x 的图像通过平移、伸缩得到，把握这一变换过程，可正确理解参数A、ω、φ、b 对图像形状的影响。准确把握用“五点法”作函数y=sin x 图像的关键点与函数y=A sin(ωx+φ)图像上相关点之间的对应关系，可快速与准确地确定解析式中的相关参数，以便进一步研究该函数的性质。

一、ω（ω＞0）的确定

【例1】已知函数f（x）=A cos(ωx+φ)的图像如图所示，且有，则f（0）=（ ）

分析：借助于该函数图像可确定它的周期，进而求得ω 的值。再根据，，结合诱导公式和两角和差公式便可求得f（0）的值。也可借助于相关点的对应关系进行求解。

二、φ 的确定

若已知φ 的范围，用代点法求φ 的值时，可代入最值点或零点；若不知道φ 的范围，通常代入曲线上的最值点，若代入零点，需分清它是递增区间，还是递减区间的中心点，否则还需要分类讨论。φ 的作用仅仅是改变了图像的位置。

【例2】已知函数y=sin(ωx+φ)（ω＞0，-π ≤φ＜π）的图像如图所示，则φ=______。（答案：）

分析：由图像易得函数的周期，当ω 确定后，可通过代入最值点确定φ 的值，也可结合它与函数y=sin x图像上五个关键点的对应关系确定φ 的值。

三、A 的确立

A 是振幅，它表示做简谐振动的物体离开平衡位置的最大距离，因此可借助它的几何意义来确定A 的值。若已知图像与y 轴交点的纵坐标和初相φ 的值，也可通过列方程求A 的值。不再赘述。

四、b 的确立

函数y=A sin(ωx+φ)图像的平衡位置是x 轴。在函数y=A sin(ωx+φ)+b 中，b 改变了图像的平衡位置，若已知函数的最大值为m，最小值为n，则。

分析：当a ≠0 时，y=1，三角函数的平衡位置，参数a 不仅决定函数的最值，还影响函数的周期，故可以此为切入点进行研究。

解析：图像A 中，函数的最大值小于2，故0＜a＜1，此时其周期应大于2π，所以A 可作为该函数的图像；图像C 中的a=0，此时f（x）=1，所以C 可作为该函数的图像；图像B 和D 中函数的最大值均大于2，故a＞1，此时其周期应小于2π，所以B 可作为该函数的图像，D 不能作为该函数的图像。

综上可知，函数y=A sin(ωx+φ)+b 的图像是由y=sin x 的图像经过平移与伸缩变换而得到的，它体现了由简单到复杂、特殊到一般的化归思想的应用。明确函数y=A sin(ωx+φ)+b 的各个参数的几何意义，即在函数图像上的反映，是数形结合思想的重要应用。求参数的值，列含有该参数的方程，是函数与方程思想的重要应用，总之，明确由y=sin x 到y=A sin(ωx+φ)+b 的变换过程是解答此类问题的关键。