数列，就是一场数数的游戏盛宴——基于课堂教学实践的《数列的概念》第一课时的教学反思

浙江省义乌市第四中学 方 婷

《数列的概念与简单表示》是人教版高中数学必修5 的第二章第一节的内容，是一节典型的概念课。这节课的教学目标是了解数列的概念，理解数列的通项公式的概念，会根据通项公式写出数列的前几项，会根据前几项写出数列的通项公式，而在这个过程中体现了函数的数学思想。因为数列这个章节的知识是高中数学知识的汇合点，又有着广泛的实际应用，还可进行不少综合性数学问题的思维综合训练，所以是一个很重要的内容。又因为数列本身的特性，如果能好好把握这节概念课的教学，可以让学生非常具象地体会数学学习的有趣性和实用性，从而提高学习数学的兴趣和信信心。所以笔者上课以后又阅览了一些论文，结合课堂教学过程中的学生反馈，利用信息技术对这节课进行了再设计。

一、课堂实录

1．引入部分

原课情境1：作为一个天文学家需要有哪些必备的工具？望远镜、天文地理知识，还有数学知识。（PPT 显示表格，并作简单解释）

水星 金星 地球 火星 木星 土星观测值 0.387 0.723 1 1.52 5.203 9.839

按照这个规律，火星和木星之间存在一个空缺，于是推测这个地方应该还有一个行星。但是对于这个规律的怀疑还是存在的，直到1800 年1 月1 日，意大利天文学家皮亚齐发现了谷神星，距离为2.77。

原课情境2：形数理论。毕达哥拉斯学派的三角形数和正方形数（PPT 显示），让学生数出相对应的小石子的个数，并且预测接下去的两个图形和石子数，然后顺势归纳第n 堆的石子数的个数。

教师总结：对于数字分布规律的研究是有必要的，为了方便表述，我们给研究对象（一列一列的数字起个名字），这一列数……

2．新课概念

先让学生根据老师的总结提示语归纳出数列的概念（按照一定顺序排列的一列数），然后老师介绍“项”“首项”“第n 项”的概念及其符号表示和数列的一般形式。PPT 显示思考题与例1，让学生回答。

师：数列的分类按项数分有穷数列和无穷数列；按项之间的大小关系分递增数列、递减数列、摆动数列、常数列等，把上述数列分类并猜测这些数列的第n 项。

师：如果数列｛an｝的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个公式（表达式）来表示，那么这个公式就叫作这个数列的通项公式。试写出例1 中的通项公式。（点出并不是所有的数列都是有规律的和通项公式的）

练习：观察下列数列，写出它们的通项公式：（1）3，5，7，9，11……；（2）7，3，-1，-5，-9；（3）0，0，0，0，0，0……；（4）2，-2，2，-2，……

例1 （1）某数列的前几项为2，5，8，11，……，则32 是这个数列的第几项？（2）根据下列通项公式，求各数列的前4 项：，an=cos（nπ）。

师：同一个数列的通项公式未必唯一，也可能不存在。

练习：黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图规律拼成若干个图案：

（1）第4 个图案中有白色地面砖的块数是 ______；

（2）第n 个图案中有白色地面砖的块数是 ______。

3．提升贯通

利用PPT 复习函数的概念，引导学生理解数列的函数特性。同时对比函数的3 种表示法，体会数列的表示法，理解其在图像上是离散的点。

例2 已知数列｛an｝的通项公式是，试判断0.1，是不是数列中的项？如果是，分别是第几项？

4．小结巩固

师：本节课我们主要学习了数列的概念、表示、通项公式和函数性。

二、教学反思之再修改

这节课上，学生的参与度和积极性对比其他知识点高了很多，作业完成的正确率和效率都很高。基于这样的反应，让我觉得这节课还可以在“玩”上面再增加比重，让学生充分体会数学是好玩的、实用的。要对效率提出更高要求——幸运的是，我们学校普及了平板教学。

修改1：对于“原课情境1”的最后，其实还有两个故事点。（可以百度）一个是发现推动了数学（高斯为此推出了数学公式），另一个就是数学应用与发现（奥伯斯再次找到了谷神星）。这样的故事有跌宕转折，也有深意，更体现了数学的神奇。

但是这个故事讲长了，在课堂上容易控制不住时间，所以不如做成4 分钟的微课，在上课之前（也可以周末）直接发送给学生观看。保留关键PPT 内容，方便抄出相关数据为后续数列的定义引入做好铺垫。

修改2：在“原课情境2”之前，再做一个游戏：11 个同学围成一个圈，定好每个人的顺序，从2 号同学开始重复报数，报到3 的同学退出圈子回座位，最后剩下的两位同学奖励接下来1 个月卫生值日全部跳过。

与切身利益相关，学生一定会很兴奋，这时可以提一句海格西普斯的著作里犹太人约瑟夫凭借这样的巧思而挽救了自己的性命，同时把这个数列抄出在黑板上。

这个游戏预计需要7 分钟（组织，解释规则，玩起来），但是这个游戏可能有持续的影响，学生可能沉浸其中不能自拔，建议这时在下课结束前再作为一个思考题，比如有没有某个数一定可以逃避值日，或者满足什么样的条件一定可以逃避值日，让学生进一步感受数字游戏的有趣，同时继续“原课情境2”的内容。

修改3：在新课概念部分的中间，关于通项公式的练习有点拖沓，例3 之前的练习可以省略几个。

修改4：在提升贯通部分，复习函数定义后，让学生平面直角坐标系中找出例1 后的练习（2）中对应的点，其中横坐标表示项数，纵坐标表示第几项的值（如图），引导学生理解数列是特殊的函数。利用函数的三要素来分析数列，同时还可以利用函数图像的性质推断数列的走势，这样更具直观性。

修改5：在最后还可以给出数学史中一些古老的数学问题，比如莱因纸草书上7 人7 屋7 鼠7 猫的问题；斐波那契数列；古印度发明国际象棋的故事；九连环的拆解步骤：《周髀算经》中的“七衡图”：《九章算术》中衰分章、均输章之类的题目，例如盈不足术；又或《张丘建算经》卷上第 22 题等。这些分别制作成几个小视频和文档，发送给学生拓展，并为了后面要学到的等差、等比数列做铺垫。

本节课是一个概念课，应该让它慢下来、“肥”起来、让数学文化深入其中，让学生感受数学的美，感觉到数学是有用的有趣的，从而更加努力地投入到数学学习中去。