波形钢腹板组合梁挠度计算方法对比

叶华文，胡劼成，史占崇，徐勋，王力武

(西南交通大学 土木工程学院，四川 成都 610031)

波形钢腹板组合结构自重轻、受力明确，可以有效降低混凝土的预应力损失。自20世纪80年代起，波形钢腹板新型组合桥梁在法国、日本、中国等国家得到了广泛的应用与发展。这种组合结构的波形钢腹板较薄，其褶皱效应明显，导致抗剪刚度较小[1-2]，因此需要考虑钢腹板引起的剪切挠度。

以上波形钢腹板组合梁挠度计算方法可总结为5种 方法，即经典梁法、Timoshenko梁法、弹性剪切变形法、有效刚度法和三角级数理论。有限元模拟成本较低，在合理的边界条件下结果较为准确，因此本文在对比分析各种方法的基础上，通过有限元模拟讨论不同方法的理论差异及适用条件。

1 挠度计算方法

选取典型波形钢腹板组合梁结构体系(简支梁和悬臂梁)，简支梁分析模型如图1所示，悬臂梁模型类似，在此不列出。图中：P为集中荷载；c为竖向荷载到左侧支座的水平距离；L为组合梁跨度；H为组合梁高；h0为钢腹板高；α为钢腹板转角；φ为上下混凝土板的转角。

图1 简支梁分析模型

波形钢腹板截面和剪切示意分别见图2、图3。其中，l0为钢腹板投影长度；l为钢腹板直腹板和斜腹板的总长；u为剪切方向的位移;V为剪力。对这2种不同结构体系在集中荷载和均布荷载作用下的挠度进行分析，工况为：①跨中集中荷载作用下的简支梁；②均布荷载作用下的简支梁；③集中荷载作用下的悬臂梁；④均布荷载作用下的悬臂梁。

图2 波形钢腹板截面图3 波形钢腹板剪切示意

国内外的试验及有限元分析结果[14-16]均证明了波形钢腹板组合梁的剪力几乎全部由钢腹板承担。Johnson等[15]推导了钢腹板等效剪切模量Ge的表达式为

Ge=Gsl0/l

(1)

式中，Gs为钢腹板的剪切模量。

1.1 经典梁法

经典梁理论中只计算由弯矩产生的竖向变形，而忽略由剪力产生的剪切变形。计算时假设：①组合截面的转动与混凝土顶底板一致；②不考虑扭转、畸变等行为；③材料线弹性，不考虑混凝土顶底板与钢腹板的滑移及剪力滞后效应；④满足平截面假定。简支梁在集中荷载和均布荷载作用下的挠度计算公式分别为

f=PL3/(48EcIc)

(2)

f=5qL4/(384EcIc)

(3)

式中：Ec为混凝土的弹性模量；Ic为混凝土截面惯性矩；q为均布荷载集度。

1.2 Timoshenko梁法

Timoshenko梁理论中剪力的作用使得相邻截面发生竖向相对滑动，因此发生剪切挠曲。计算时假设：①只考虑波形钢腹板剪切变形；②组合截面的转动与混凝土顶底板一致；③不考虑扭转和畸变行为；④材料线弹性，不考虑混凝土顶底板与钢腹板的滑移及剪力滞后效应；⑤满足拟平截面假定。

文献[4,7-8,10]的挠度计算方法虽然推导过程不同，但均采用这一假设——在弯曲变形的基础上考虑剪切变形，归结为Timoshenko梁理论。简支梁在集中荷载和均布荷载作用下跨中挠度计算公式分别为

(4)

(5)

式中，Aw为钢腹板截面积。

1.3 弹性剪切变形法

贺君等[9]通过假定波形钢腹板梁截面转角的位移场，建立组合梁结构力的平衡条件，引用截面变形相容方程、物理方程，根据不同边界条件推导出简支梁挠曲方程解析解。基本假设为：①只考虑波形钢腹板剪切变形；②组合截面的转动与混凝土顶底板不一致；③不 考虑扭转、畸变等行为；④材料线弹性，不考虑混凝土顶底板与钢腹板的滑移及剪力滞后效应；⑤满足平截面假定。通过考虑跨高比、弯曲刚度、剪切刚度等因素修正解析解，得到简支梁在集中荷载和均布荷载作用下的跨中挠度简化计算公式，分别为

(6)

(7)

1.4 有效刚度法

聂建国等[11-12]运用静力平衡条件，推导出工况1和工况2的挠曲方程解析解；运用变形等效原理简化解析解，得到波形钢腹板组合梁挠度简化计算方法——有效刚度法。该方法基于以下假设：①只考虑波形钢腹板剪切变形；②组合截面的转动与混凝土顶底板一致；③不考虑扭转、畸变等行为；④材料线弹性，不考虑混凝土顶底板与钢腹板的滑移及剪力滞后效应；⑤各自满足平截面假定；⑥纵向受力全部由混凝土承担，不考虑钢腹板的轴向刚度。根据有效刚度法，建立简支梁在集中荷载和均布荷载作用下跨中挠度计算公式分别为

f=PL3/(48B)

(8)

f=5qL4/(384B)

(9)

式中，B为截面有效刚度。

1.5 三角级数理论

与前4种理论相比，三角级数理论[11]具有力学概念清晰、简便适用等特点。基本假设为：①只考虑波形钢腹板剪切变形；②组合截面的转动与混凝土顶底板不一致；③不考虑扭转、畸变等行为；④材料线弹性，不考虑混凝土顶底板与钢腹板的滑移及剪力滞后效应；⑤各自满足平截面假定；⑥纵向受力全部由混凝土承担，不考虑钢腹板的轴向刚度。根据三角级数理论，建立简支梁在集中荷载和均布荷载作用下跨中挠度计算公式分别为

(10)

(11)

式中：S1为顶板截面积，S1=b1t1；S0为钢腹板等效截面的面积，S0=h0tw。

1.6 不同方法的理论差异

5种计算方法的共同点为：①材料线弹性，不考虑混凝土顶底板与钢腹板的滑移及剪力滞后效应；②不考虑扭转、畸变等行为。不同点为：①是否考虑剪切变形。与其他4种理论不同，经典梁理论不考虑剪切挠度对整体挠度的贡献。②截面假定不同。Timoshenko梁计算理论采用的是拟平截面假定[17]，即忽略波纹钢腹板的纵向刚度，连接上下翼板纵向线应变则可近似看成平截面假定。其他4种理论均各自满足平截面假定。③剪力的承担范围不同。Timoshenko梁理论和有效刚度理论忽略上下混凝土板对剪切变形的贡献，只考虑钢腹板承担剪力，而经典梁、弹性剪切变形和三角级数理论剪力的承担范围为顶底板和钢腹板。④是否考虑钢腹板对纵向刚度的贡献。有效刚度理论和三角级数理论忽略了钢腹板纵向刚度。⑤公式推导时考虑的基本参数不同。弹性剪切变形法和有效刚度法均运用静力平衡法推导，前者推导的基本参数为梁体竖向挠曲位移、截面剪切角、钢腹板转角，后者则为梁体竖向挠曲位移、翼板中性轴的相对转角。三角级数理论推导的基本参数为梁体竖向挠曲位移、钢腹板转角、翼板转角。

2 算例分析

波形钢腹板组合梁模型材料属性见表1，截面尺寸见图4。波形钢腹板的参数为：t1=40 mm，t2=46 mm，h0=264 mm，b1=900 mm，b2=525 mm，tw=2 mm。为对比不同跨高比下各理论方法的精度，令截面高度不变，跨度分别为1.575，3.500，5.075，7.000，8.750，10.500，12.250，14.000 m。P=20 kN，q=4 kN/m。根据几何尺寸建立有限元模型，考虑顶底板较厚，采用Solid 45实体单元模拟混凝土顶底板，采用Shell 43壳单元模拟钢腹板，边界条件按简支梁和悬臂梁设置，见图5。

表1 波形钢腹板组合梁材料属性

图4 截面尺寸(单位:mm)图5 有限元节段模型

按5种计算方法及有限元法计算得到不同跨高比下4种工况的挠度，分别见表2—表5。按Timoshenko梁理论和有限元法计算得到不同工况剪切挠度占总挠度的比例，见图6。

由表2可知：对于工况1，1020时Timoshenko梁法、弹性剪切变形法、有效刚度法的理论值与有限元值的误差均在5%以内，3种理论均可满足工程精度。结合图6(a)可知：L/H>35时分别按Timoshenko梁法、有限元法计算的剪切挠度占总挠度的比例均在5%以内，故对于工况1考虑剪切挠度的跨高比限值取35。

表2 工况1不同跨高比下简支波形钢腹板组合梁剪切挠度

表3 工况2不同跨高比下简支波形钢腹板组合梁剪切挠度

表4 工况3不同跨高比下悬臂波形钢腹板组合梁剪切挠度

表5 工况4不同跨高比下悬臂波形钢腹板组合梁剪切挠度

图6 不同工况剪切挠度占总挠度的比例

由表3可知：对于工况2，4.520时Timoshenko梁法理论值精度最高，建议采用Timoshenko梁法。结合图6(b)可知：L/H>35时分别按Timoshenko梁法、有限元法计算的剪切挠度占总挠度的比例均在5%以内，故对于工况2考虑剪切挠度的跨高比限值取35。

由表4可知：对于工况3，4.510 时，三角级数理论和经典梁法计算精度最高，可采用任意一种。结合图6(c)可知：L/H>10时按Timoshenko梁法、有限元计算的剪切挠度占总挠度的比例均在7%以内，且此跨高比范围内经典梁法理论值精度最高，故对于工况3考虑剪切挠度的跨高比限值取10。

由表5可知：对于工况4，4.514.5时三角级数理论和经典梁法的理论值精度最高，可采用任意一种。结合图6(d)可知：L/H>14.5时按Timoshenko梁法、有限元法计算的剪切挠度占总挠度的比例均在10%以内，且此跨高比范围内三角级数理论和经典梁法的理论值精度最高，故对于工况4考虑剪切挠度的跨高比限值取14.5。

3 结论

对已有的波形钢腹板组合梁挠度计算方法总结为5种：经典梁法、Timoshenko梁法、弹性剪切变形法、有效刚度法、三角级数理论。对比不同分析方法得到如下结论。

1)5种挠度计算方法的差异在于假设时是否考虑剪切挠度、截面变形假定不同、组合梁剪力承担范围不同、是否考虑钢腹板对纵向刚度的贡献、公式推导考虑的关键参数不同。

2)4种工况在不同跨高比区间适用的挠度计算方法分别为：工况1，L/H>10时推荐采用Timoshenko梁法；工况2，L/H>14.5时推荐采用Timoshenko梁法；工况3，L/H≥4.5时推荐采用三角级数理论；工况4，L/H≥4.5时推荐采用三角级数理论。建议4种工况考虑剪切变形的跨高比限值分别取35，35，10，14.5。