高考中的四点共圆问题

2019-05-21于志洪

中学课程辅导·高考版 2019年6期

于志洪

2011年高考全国卷亚第21题、2005年湖北卷（理科）第21题和2002年江苏卷（理科）第20题均为圆锥曲线与四点共圆相结合的高考题.由于试题难度大，知识面广，因而同学们解答较困难.为攻克这一难点，帮助同学们掌握解析法证明四点共圆的方法，本文现以一道调研试题为例说明如下，供同学们复习时参考.

题目：求证：两椭圆b2x2+a2y2-a2b2=0和a2x2+b2y2-a2b2=0的交点在以原点为中心的圆周上，并求这个圆的方程.（2018年威海市高三教学调研试题）

证法一：本题根据“相加法”得到一个圆方程，再说明四点共圆.

b2x2+a2y2-a2b2=0 （1）

a2x2+b2y2-a2b2=0 （2）

所以四个交点的坐标必须同时满足方程（1）和（2），把（1）和（2）相加得：

（a2+b2）x2+（a2+b2）y2-2a2b2=0这是一个圆的方程，x2+y2=2a2b2a2+b2即题设的四点共圆，圆心为原點，半径为2aba2+b2.

证法二：解方程组b2x2+a2y2-a2b2=0a2x2+b2y2-a2b2=0的四个交点的：

A（-aba2+b2，aba2+b2）;

C（aba2+b2，-aba2+b2）;

B（-aba2+b2，-aba2+b2）;

D（aba2+b2，aba2+b2）;

所以|AO|=|BO|=|CO|=|DO|=2aba2+b2.故这四点都在以原点为圆心，以2aba2+b2为半径的圆上.故所求圆的方程为：x2+y2=（2aba2+b2）2，

即（a2+b2）x2+（a2+b2）y2-2a2b2=0.

注意：本法根据“四点到定点的距离都相等”而证明之.

证法三：由证法二已得到四个交点A，B，C，D的坐标，设过其中任意三点（如A，B，C）的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，将A，B，C三点的坐标依次代入上面的方程，得到关于D，E，F的三元一次方程组：aba2+b2D-aba2+b2E-（a2+b2）F-2a2b2=0aba2+b2D+aba2+b2E-（a2+b2）F-2a2b2=0aba2+b2D-aba2+b2E+（a2+b2）F+2a2b2=0

解这个方程组得：D=0，E=0，F=-2a2b2a2+b2，

于是得到所求圆的方程为x2+y2-2a2b2a2+b2=0，即（a2+b2）x2+（a2+b2）y2-2a2b2=0，把D点坐标代入所求圆的方程得（a2+b2）·（aba2+b2）2+（a2+b2）（aba2+b2）2-2a2b2=0，所以D点坐标满足所求圆的方程，故A，B，C，D四点共圆.

注意：本法根据“先建立一个圆的方程，再说明其余各点的坐标都满足此方程”而证明之.

如果要证明五个点或更多的点共圆，可先求得四个点共圆的方程，再证明其余各点的坐标满足圆的方程即可.证明四点共圆，应用解析法证明时，还可证明“对角互补，四点共圆.”现再以一道高考题为例说明如下：

已知O为坐标原点，F为椭圆C：x2+y22=1在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为-2的直线l与C交于A，B两点，点P满足OA+OB+OP=0.

（1）证明：点P在C上;

（2）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A，P，B，Q四点在同一圆上.（2011年高考全国卷Ⅱ第21题）

证明：（1）由题意，直线l：y=-2x+1与椭圆方程x2+y22=1联立得：4x2-22x-1=0.设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1=2-64，x2=2+64，x1+x2=22，y1+y2=-2（x1+x2）+2=1.由OA+OB+OP=0，得P（-（x1+x2），-（y1+y2）），

所以P的坐标为（-22，-1），

由于（-22）2+（-1）22=1，所以点P在C上.

（2）方法1：由（1）知A（2-64，1+32），

B（2+64，1-32），P（-22，-1），Q（22，1），