三角换元技巧与多元函数最值

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三角换元技巧是一种用三角函数代替问题中的字母，然后利用三角函数之间的关系解决问题的一种代换方法，此法应用广泛，本文仅就这种方法在求解多元函数最值问题中的应用，精选部分高考和竞赛数学题为例说明如下.

一、解最大值问题

例1 （2015年第二十六届“希望杯”全国数学邀请赛高二第1试第3题）当x≥0，y≥0时，函数f（x，y）=x2-y2+y3-x2的最大值是（  ）.

A.2  B.3  C.6  D.23

分析：本题直接求函数的最大值，比较繁琐，根据题目的结构特征，尤其结合根号内的代数式，通过三角换元，结合sin2θ+cos2θ=1，使问题的解答顺畅明了.

解：设x=3sinα，y=2sinβ，（0≤α≤π2，0≤β≤π2），所以2-y2=2-2sin2β=2cosβ，3-x2=3cosα.则f（x，y）=3sinα·2cosβ+2sinβ·3cosα=6sin（α+β），因此当α+β=π2时，f（x，y）max=6.故选C.

点评：这是一道二元无理函数的最值问题，通过巧妙配凑系数后，借助sin2θ+cos2θ=1，巧妙利用三角换元，将无理函数的最值问题转变为三角函数的化简求最值问题，自然流畅地应用正弦函数的有界性求得结果.其解法简捷明了，其思路顺理成章，真可谓匠心独具，别有洞天，令人耳目一新.

例2 （2014年美国哈佛—麻省理工数学竞赛题）已知实数x，y满足x2-xy+2y2=8，试求x2+xy+2y2的最大值.

分析：这是一道二元最值问题，试题以二次方程的形式给出，去求二次式的最大值，入口较宽，可以从多个角度进行思考，故能较好地考查同学们的数学思维水平，本文仅介绍一种新颖简捷的三角代换法.

解：因为x2-xy+2y2=8，配方得，

（x-y2）2+74y2=8，设

x-y2=22cosθ，72y=22sinθ，

则x=227sinθ+22cosθ，①y=427sinθ，②

将①、②同时代入x2+xy+2y2中，得

x2+xy+2y2=（227sinθ+22cosθ）2+（227sinθ+22cosθ）·427sinθ+2（427sinθ）2

=887sin2θ+8cos2θ+327sinθcosθ=727+167sin2θ-167cos2θ=727+3227sin（2θ-φ），其中tanφ=77，故依据正弦函数的有界性，知当sin（2θ-φ）=1时，x2+xy+2y2取得最大值72+3227.

点评：上述解法从已知条件入手，先将题设式进行配方，结合三角换元，将条件三角化后代入目标函数，从而沟通了题设与结论的关系，实现了将代数最值问题化归为三角函数最值问题来处理，最后根据正弦函数的有界性，巧妙求得最大值.上述解法，不仅减少了计算量，而且丰富了同学们的解题思路，提高了解题速度.

二、解最小值问题

例3 （2015年福建省高考题）已知a>0，b>0，c>0，函数f（x）=|x+a|+|x-b|+c的最小值为4.

（1）求a+b+c的值;

（2）求14a2+19b2+c2的最小值.

分析：（1）易求得a+b+c=4;（2）本题所求目标式的最小值涉及三个字母，难度大，然而通过变换与变形便能透过现象看本质，找到了三角换元求解就简便了.

解：设14a2+19b2+c2=r2（r>0），令c=rsinβ，13b=rsinα·cosβ，

12a=rcosα·cosβ，其中，α，β∈[0，π2]代入a+b+c=4中变形得

1r=2cosα·cosβ+3sinα·cosβ+sinβ4.

因为β∈[0，π2]，所以cosβ≥0，于是2cosα·cosβ+3sinα·cosβ=13cosβ·sin（α+φ）≤13cosβ，（其中tanφ=23）.所以2cosα·cosβ+3sinα·cosβ+sinβ≤13cosβ+sinβ≤14，所以1r≤144，即r2≥87，当且仅当a=87，b=187，c=27时等号成立，故14a2+19b2+c2的最小值为87.

点评：本题考查绝对值函数最值的求法及其满足约束条件的多元函数的最值问题的解法.对于第（1）小题我们利用绝对值的性质易得a+b+c=4，上面给出的三角换元法求最值的方法，其实质是空间极坐标系也叫球坐标系，数学选修《坐标系与参数方程》中有介绍，若将本题中12a，13b，c分别看作x，y，z，令14a2+19b2+c2=r2（r>0），即x2+y2+z2=r2.那么問题就转化为球面方程，可选用空间极坐标系法求解.

例4 （2014年高考辽宁卷·理第16题）对于c>0，当非零实数a，b满足4a2-2ab+4b2-c=0且使|2a+b|最大时，3a-4b+5c的最小值为    .

分析：本题为三元函数的最值问题，由于试题横向入口较宽，纵向难度较大，综合性和技巧性很强，因而同学们感到很棘手.然而根据题设结构特征巧妙将已知条件变形，再运用三角换元技巧就可将三元函数转化为三角函数来求最小值，从而解题就便利了.

解：由已知得（2a-12b）2+154b2=c，

令2a-12b=ccosθ，152b=csinθ，则2a=c15sinθ+ccosθ，b=2c15sinθ，

从而2a+b=c15sinθ+2c15sinθ+ccosθ

=3c15sinθ+ccosθ=210c5sin（θ+φ），

于是（2a+b）max=210c5，此时4a2+4ab+b2=85c，即

4a2+4ab+b2=85（4a2-2ab+4b2），整理得4a2-12ab+9b2=0，即（2a-3b）2=0，得2a=3b.

又2a+b=4b=210c5，从而b=10c10，a=31020c，于是3a-4b+5c=-2b+5c=-210c+5c=5（1c-105）2-2≥-2.即3a-4b+5c的最小值為-2.

点评：上述方法是从条件入手，通过配方，将已知条件三角化后代入目标函数，实现了将代数最值问题转化为三角函数最值问题来处理.本题运用三角换元技巧法求解，不仅简洁明快，解法流畅，而且能启迪思维，提高解题速度，拓宽视野.此题设计精巧，可以从多角度研究，思维分析切口较宽，解法也较多.然而，根据题中条件的结构特征，利用三角换元思想解题可谓别具一格.

三、解最大值和最小值问题

例5 （2015年苏锡常三市高考二模试题）若实数a，b，c满足a2+b2≤c≤1，求a+b+c的最大值和最小值.

分析：本题如从已知条件入手求解，则很难，但从结构入手通过设a=rcosθ，b=rsinθ，则可联系三角函数知识求得结果.

解：设a=rcosθ，b=rsinθ，θ∈[0，2π]，r≤c≤1，则a+b+c=rcosθ+rsinθ+c=2rsin（θ+π4）+c.由sin（θ+π4）∈[-1，1]可知a+b+c∈[-2r+c，2r+c].因为0≤r≤c≤1，那么2r+c≤1+2，当且仅当a=b=22，c=1时，等号成立;又-2r+c≥-2c+c=（2c-1）22-12≥-12，当且仅当a=b=-12，c=12时，等号成立.因此a+b+c的最大值为1+2，最小值为-12.

点评：本题属于三元条件最值问题，直接用代数方法解较难.然而根据已知条件式子的结构特征，联想三角换元，利用正弦函数有界性求得最大值和最小值.其解法思维自然，解法流畅，从而沟通了题设与结论之间的关系，使问题轻松得到解决.

从以上各例可以看出用三角换元技巧求高考最值问题，其关键是要从问题的背景出发，根据题设及所求题目的结构特征经过合理的推理，探究出问题中的隐藏的三角函数关系，列出符合题意的关系式，从而与代数有关知识联系起来，以达到解题目的.

用三角换元技巧求解高考最值问题之所以具有新颖别致、独特创新的灵活性和创造性，是因为在解题过程中往往容易找到题设和结论之间的关系，使原来抽象隐含的条件充分显露出来，因而解题时，就能化繁为简，变难为易.

用三角换元技巧求解高考最值问题，对于数学思维的培养及数学方法的培养有一定的强化作用，有利于提高运用数学知识解决实际问题的能力.这种解法的优点在于可将已知条件中的二个或三个变量代换为同一个角的某个三角函数来表示，从而利于我们运用熟知的三角公式进行化简，直至问题的解决.