处理模长问题常见策略

胡磊

平面向量集数与形为一体，沟通代数、几何与三角函数，作为高考的重要考点，经常出现在填空题的压轴题中，尤其是模长问题，为了帮助大家学习，整理归纳出了处理平面向量模长问题的常见策略.

策略一：直角坐标系法

直角坐标系法是处理平面向量模长的常用方法，通过已知条件建立合适的坐标系，把点的坐标表示出来，则向量的坐标就可以求出来，从而平面向量的模长可利用数量积的运算求得.

例1 等边△ABC的边长为4，点P是△ABC内（包括边界）的一动点，且AP=34AB+14λAC（λ∈R），则|AP|的最大值为    .

分析：以A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，设P（x，y），根据向量的坐标运算求得y=3（x-3），当该直线与直线BC相交时，|AP|取得最大值.

解析：以A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立如图所示的坐标系：∵△ABC是边长为4的等边三角形，∴A（0，0），B（4，0），C（2，23），

设点P为（x，y），0≤x≤4，0≤y≤23，∵AP=34AB+14λAC（λ∈R），

∴（x，y）=34（4，0）+14λ（2，23）=（3+λ2，32λ），

∴x=3+λ2y=3λ2，∴y=3（x-3） ①，

而直线BC的方程是：y=-3（x-4） ②，

由①②解得：x=72y=32，则点P的轨迹方程为

y=3（x-3），3≤x≤72.

而|AP|2=x2+y2=x2+3（x-3）2

=4x2-18x+27=4（x-94）2+274.

∴当x=72时，|AP|2取到最大值.

∴（|AP|2）max=13，即|AP|的最大值为13.

点评：本题考查了向量在几何中的应用問题，建立直角坐标系是解题的关键，求出点P的轨迹方程，利用其几何意义确定模长最大值.

策略二：向量基底法

如果题目不能建立坐标系求解，可以尝试向量的基底法，它是处理平面向量模长问题的主要方法，就是根据平面向量的基本定理，选择向量的基底，把相关向量利用基底表示出来，最后求模长.

例2 如图，在边长为1的正△ABC中，点G为边BC上的中点，线段AB，AC上的动点D，E分别满足DB=λAB，EC=（2-3λ）AC（λ为实数），设DE的中点为F，则线段FG长度的取值范围为    .

分析：根据向量的基本定理，先确定基底，表示出FG，再用二次函数求取值范围.

解析：∵DB=λAB，∴AD=（1-λ）AB，

∵EC=（2-3λ）AC，∴AE=（3λ-1）AC，

由1-λ∈[0，1]3λ-1∈[0，1]得13≤λ≤23，

|FG|=FG·FG=（AG-AF）2

=（12AB+12AC-12AD-12AE）2

=（λ2AB+2-3λ2AC）2=7λ2-10λ+44，

∵对称轴为λ=57>23，

∴二次函数7λ2-10λ+4在[13，23]上递减，∴λ=23时，|FG|取得最小值13;λ=13时，|FG|取得最大值136，故线段FG的长度的取值范围是[13，136]

点评：本题考查了向量数乘和线性运算，根据向量的基本定理，表示出FG，再用二次函数求取值范围.

策略三：平方法

如果题目出现夹角和模长时，一般通过平方法，再结合向量数量积公式，可得所要求的向量的模长的关系式.

例3 平面向量a，b，c两两所成角相等，且|a|=1，|b|=2，|c|=3，则|a+b+c|为    .

分析：由平面向量a，b，c两两所成角相等，可得两两所成角为0°或120°.再利用数量积运算性质即可得出.

解析：∵平面向量a，b，c两两所成角相等，∴两两所成角为0°或120°.

∵|a|=1，|b|=2，|c|=3，当所成角为120°时，

∴a·b=1×2×cos120°=-1，a·c=-32，b·c=-3，

则|a+b+c|=a2+b2+c2+2（a·b+a·c+b·c）=12+22+32+2（-1-32-3）=3.

同理可得：当所成角为0°时，则|a+b+c|=1+2+3=6.故答案为：3或6.

点评：本题考查了数量积运算性质、向量夹角，考查了推理能力与计算能力，因为两两所成角相等，所以两两所成角为0°或120°，容易出现漏解的错误.

策略四：三角换元法

当题目有圆的几何特征，那么我们可以根据圆的参数方程，利用三角换元法解决平面向量的模长问题.

例4 已知点A（0，-1），B（2，0），O为坐标原点，点P在圆C：x2+y2=45上.若OP=λOA+μOB，则λ+μ的最小值为    .

分析：设P（25cosα，25sinα），用α表示出λ，μ，根据三角恒等变换得出λ+μ的函数解析式，从而得出答案.

解析：设P（25cosα，25sinα），则25cosα=2μ25sinα=-λ，

∴λ=-25sinα，μ=15cosα，

∴λ+μ=-25sinα+15cosα=sin（φ-α），其中sinφ=15，cosφ=25，

∴λ+μ的最小值为-1.

点评：本题考查了平面向量的基本定理，通过三角换元，把问题转化为利用三角函数有界性求最值问题.

策略五：构造几何模型法

向量具有几何特征和代数特征，挖掘题目几何特征，构造几何模型，对问题解决具有快捷的效果.

例5 已知a，b，e是平面向量，e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为π3，向量b满足b2-4e·b+3=0，则|a-b|的最小值是    .

分析：把已知b2-4e·b+3=0变形，可得b的终点在以（2，0）为圆心，以1为半径的圆周上，再由已知得到a的终点在不含端点O的两条射线y=±3x（x>0）上，画出图形，数形结合得答案.

解析：由b2-4e·b+3=0得（b-e）·（b-3e）=0，∴（b-e）⊥（b-3e），如图，不妨设e=（1，0），则b的终点在以（2，0）为圆心，以1为半径的圆周上，

又非零向量a与e的夹角为π3，则a的终点在不含端点O的两条射线y=±3x（x>0）上.不妨以y=3x为例，则|a-b|的最小值是点（2，0）到直线3x-y=0的距离减1.

即|23|3+1-1=3-1.

点评：本题考查平面向量的数量积运算，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，根据已知构造几何图形是解决问题的关键.