离心率的值或范围的求解策略
2019-05-21李琳
李琳
一、方法综述
离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：
①根据题意求出a，b，c的值，再由离心率的定义直接求解;
②由题意列出含有a，b，c的方程（或不等式），消去b，构造a，c的齐次式，求出e;
③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;
④根据圆锥曲线的统一定义求解.
解题时要注意圆椎曲线本身所含的一些范围的应用，如椭圆上的点的横坐标-a≤x0≤a等.
二、解题策略
1.直接求出a，c或求出a与b的比值，以求解e
例1 已知椭圆C：x2a2+y24=1的一个焦点为（2，0），则C的离心率为 .
解析：根据题意，c=2，因为b2=4，所以a2=b2+c2=8，即a=22，
所以椭圆C的离心率为e=222=22.
点评：该题考查的是有关椭圆的离心率的问题，在求解的过程中，一定要注意离心率的公式，再者就是要学会从题的条件中判断与之相关的量，结合椭圆中a，b，c的关系求得结果.
2.构造a，c的齐次式，解出e
例2 已知双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c（c>0），抛物线y2=2cx的准线交双曲线左支于A，B两点，且∠AOB=120°（O为坐标原点），则该双曲线的离心率为 .
解析：由题意，当抛物线的准线方程为x=-c2，与双曲线方程联立方程组得，
A（-c2，（c2-4a2）b24a2），
B（-c2，-（c2-4a2）b24a2），
又因为∠AOB=120°，
则（c2-4a2）b24a2c2=tanπ3=3c4-8a2c2+4a4=0c4a4-8c2a2+4=0，
∴e4-8e2+4=0e2=4±23（4-23<1，舍去）e2=4+23e=3+1.
点评：本題考查双曲线的离心率的求法，注意运用抛物线和双曲线的定义，以及联立方程求交点的方法，考查化简整理的运算能力，其中对c4-8a2c2+4a4=0c4a4-8c2a2+4=0的齐次式处理很关键，对待此类型的方程常见的方法就是方程左右两边同除一个参数的最高次项即可转化成一个一元方程，化简整理的运算能力是解决此题的关键.
3.寻找特殊图形中的不等关系或解三角形
例3 已知F1，F2是椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为36的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则C的离心率为 .
解析：先根据条件得PF2=2c，再利用正弦定理得a，c关系，即得离心率.
因为△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，所以PF2=F1F2=2c，
由AP斜率为36得，tan∠PAF2=36，
∴sin∠PAF2=113，cos∠PAF2=1213，
由正弦定理得PF2AF2=sin∠PAF2sin∠APF2，所以2ca+c=113sin（π3-∠PAF2）=11332×1213-12×113=25，
∴a=4c，e=14.
另解：由题意可知：A（-a，0），F1（-c，0），F2（c，0），
直线AP的方程为：
y=36（x+a），
由∠F1F2P=120°，2c=|F1F2|=|PF2|，
则P（2c，3c），
代入直线AP：3c=36（2c+a），整理得：4c=a，∴离心率e=ca=14.
点评：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题，其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，而建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用圆锥曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
例4 已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F1，F2.这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形.若|PF1|=10，记椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2，则e1·e2的取值范围是 .
解析：设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|=m，|PF2|=n，（m>n），由于△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若|PF1|=10，即有m=10，n=2c，由椭圆的定义可得m+n=2a1，由双曲线定义可得m-n=2a2，即a1=5+c，a2=5-c，（c<5），再由三角形的两边之和大于第三边，可得2c+2c>10，可得c>52，既有52
点评：求解本题的关键是利用三角形的两边之和大于第三边建立不等式求出c的范围.
4.利用圆锥曲线性质
例5 若a>1，则双曲线x2a2-y2=1的离心率的取值范围是 .
解析：由题意e2=c2a2=a2+1a2=1+1a2，因为a>1，所以1<1+1a2<2，则1 点评：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，而建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 5.利用平面几何性质 例6 已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，则C的离心率为 . 解析：设|PF2|=m，则根据平面几何知识可求|F1F2|，|PF1|，再结合椭圆定义可求离心率. 在△F1PF2中，∠F1PF2=90°，∠PF2F1=60°， 设|PF2|=m，则2c=|F1F2|=2m，|PF1|=3m， 又由椭圆定义可知 2a=|PF1|+|PF2|=（3+1）m， 则离心率e=ca=2c2a=2m（3+1）m=3-1. 点睛：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的距离之和是否为定值，二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等;“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦定理以及椭圆的定义. 6.利用数形结合 例7 设F1，F2是双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左，右焦点，O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|F1P|=6|OP|，则C的离心率为 . 解析：如图，过F2作PF2⊥l，延长F2P，作F1Q⊥PF2相交于点Q， 则|F1Q|=2|OP|=2a，|QP|=|F2P|=b，从而|F1P|=6a， 在△F1PQ中有6a2=4a2+b2，即2a2=b2， 可得e=ca=a2+b2a=3aa=3. 点评：由条件PF2⊥l，构造直角△F1QF2，运用勾股定理建立方程，找到2a2=b2，从而求出e.巧妙构图，多思少算.
