合理运用数形结合 巧破教学重难点

钟传芳

（广东省惠州市龙门县龙江镇中心小学，广东惠州 516000）

引 言

小学生年纪小，有时缺乏判断能力，对于一些抽象的、易混淆的知识点，往往模棱两可，容易出错。“数形结合”思想能为学生提供恰当、形象的材料。根据学生的年龄特点和教材编排意图，合理地运用数形结合思想，能够化难为易，突破教学重、难点，让学生掌握正确的学习方法，使教学取得事半功倍的效果[1]。

一、数形引导，帮助学生理解方法

（一）利用直观图，理解计算方法

数的运算在整个小学阶段的学习中占据相当大的比重，而计算在生活中随处可见。因此，培养小学生的计算能力是小学阶段的重要目标之一。在教学中，笔者发现有相当一部分学生的计算能力较差，这是因为学生忽视了对算理的理解。计算的教学内容看似简单，但如果学生没有掌握算理，就无法正确地计算。因此，要让学生掌握算理，教学方法十分重要。笔者利用直观图引导学生发现、交流，互换自己的想法，让学生的思维“舞动”起来，构建计算方法的模型。例如，在教学分数乘法的计算中，笔者先出示直观图，然后再引导学生进行小组合作交流。

（1）如图1，涂色部分占这个长方形的几分之几？

图1

（2）如图2，画线的部分占涂色部分的几分之几？

图2

（3）画线部分是这个长方形的几分之几？你能看图列算式并计算出结果吗？

（4）如图3，画线部分是长方形的几分之几？你能看图列算式并计算出结果吗？

图3

这样，通过直观图，引导学生主动交流，让学生经历算法，探索算理，进而让学生想一想、说一说：积的分子与两个因数的分子有什么关系？分母与两个因数的分母有什么关系？最后总结归纳方法。从图形到算理，采用数形结合的思想，能让学生有效地理解分数乘分数的算理。如果没有图形的辅助，学生就无法看透、理解这一算理，也就无法建立清晰的表象，列出正确的算式。

（二）利用线段图，合理分析数量关系

正确地运用数形结合思想进行解题是帮助学生分析各单位的数量关系、解答实际应用题的有效途径，不仅能促进学生抽象思维和逻辑思维的协调发展，而且还能激发学生探究问题的潜力，同时也可以培养学生的发散思维[2]。例如，东风路小学开展第二课堂活动，书法小组有30 人，比合唱小组人数的2 倍少6 人，合唱小组有多少人？在解答过程中，学生列出的算式有两种：①(30+6)÷2；②(30-6)÷2。学生的答案有18 人和12 人两种。有些学生看到两个答案感到不知所措，究竟是哪一个答案对呢？此时，教师可以画出线段图进行引导（如图4）。

图4

从图4中可以看出，（30+6）是合唱小组人数的2 倍，除以2 是合唱小组的人数；也可以根据线段图用方程理解，设合唱小组有x 人，2x-6=30，也可求出合唱小组的人数。由此可见，数形结合思想既是解题过程，又是形象思维和抽象思维交替转化、共同发展的过程。由于抽象思维有形象思维作为支撑，解法相对简单，一目了然，能准确帮助学生理解数量关系，很快地解决数学问题。

二、数形比较，有利化解教学的难点

应用数形结合思想要充分地利用形，并善于比较，帮助学生理解方法，掌握重点，突破难点。例如，在求积计算方法的教学中，教师需要为图形赋予一定的价值。再如，在教学三角形、梯形的面积公式时，有些学生对公式中的“除以2”感到不理解。教师就需要引导学生参与探究过程和方法，同时还要加强比较，三角形的面积公式是在探究平行四边形的面积的基础上得来的。把两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形，一个三角形的面积等于平行四边形面积的一半，即底×高÷2（如图5）。同理，在探究梯形的面积的计算方法时，教师也可以把两个完全相同的梯形拼成一个平行四边形（如图6），一个梯形的面积等于平行四边形面积的一半，即平行四边形面积除于2，而平行四边形的面积等于底乘高，因此梯形的面积公式自然不难理解。

图5

图6

教师应引导学生积极参与、思考，并加以点拨，让学生明确梯形的面积为什么要除以2，公式的来由是什么。让学生在有“形”的过程中，有目标地向“数”过渡，利用“数”来解“形”，学生不但明白了公式的来由，而且在学习的过程中也逐渐形成数感。

三、数形结合，拓宽学生的解题思路

数与形的有机结合，能呈现较为直观的数学符号，使复杂的数量关系简单明了，帮助学生克服思维定式。数形结合思想能够丰富学生表象，启发学生思维，拓宽解题思路，强化思维的灵活性。例如，在教学“鸡兔同笼”问题时，有这样一道题目：鸡兔同笼，共有7 个头，脚共有22 只，鸡、兔各有多少只？题中有两个变量，分别是鸡和兔的数量，鸡的只数增加，兔的只数就要减少；反之，鸡的数量减少了，兔的数量就增多了。但它们头的个数和脚的只数是不变的。在教学中，如果用数形结合的方法，让学生想一想、画一画，假设7 个头全部是鸡，一共有14 只脚，与题目中的22 只脚相矛盾；再将鸡换成兔，假设7 个头都是兔，一共有28 只脚，与题中的“22 只脚”相矛盾，多出了6 只脚，于是我们又要把多出来的6 只脚，从3 个头上“擦去”，可换算为3 只鸡。因此，正确答案是鸡有3 只，兔有4 只。运用数形结合的方法，学生不仅学得简单、有趣，而且能够加深理解，用假设的解题思路，拓展了学生的思维空间。

四、数形演绎，展示完美结合的魅力

数学是研究数量关系和空间形式的一门科学，数与形的关系密不可分、缺一不可。在教学中，如果能充分发挥计算机生动、形象、高密度、信息容量大、检索快等优势，数形结合能使抽象数学知识形象化，从而使学生获得丰富的表象。例如，在教学《正比例的意义》一课时，教师应充分利用数形结合思想，借助计算机课件，将操作活动形成的实物图形象过渡到函数图像，如教学“路程、时间和速度”这三种数量的关系时，可以结合具体的情境，将速度设定为定值，让学生思考路程和时间这两种变量的关系。学生的想法与多媒体演示同步进行，让学生从变化中亲眼见证正比例意义的建构过程，演绎数形结合的魅力。

结 语

总之，不管用直观图来理解分析算理，还是用画图方式或借助多媒体，都能将解题思路形象化、具体化，这些体现了运用数形结合思想方法的优势，有利于突破教学的重难点，打造高效的数学课堂。因此，在实际教学中，教师可以根据学生的年龄特点或学习内容和学生的实际生活，适时地渗透“数形结合”的思想方法，让学生在不断学习中，感悟数学思想，提高学习兴趣，为其今后的数学学习打下坚实的基础。