用数形结合思想解决最值问题的应用探讨

2019-05-17郑胜

名师在线 2019年12期

郑胜

（福建省三明市将乐县第四中学，福建三明 350300）

引言

在数学学科的学习过程中，所谓数学思想，就是通过对数学基本知识的学习和理解，产生对数学知识本质的高度概括和认识。数形结合思想是初中数学比较重要的思想，它能把抽象的问题具体化，从而简化解决问题的过程。最值问题是初中数学中最常见的一类问题，利用数形结合思想能够提高解决这类问题的速度和准确性。

一、数形结合思想

数学中最基本的两个概念就是数与形，这两个概念是对现实世界中客观事物的抽象反映，贯穿于整个数学学习和教学过程。从广义上来说，我们可以将“数”理解为数学的文字特征，如数字、概念、数学公式、性质、定理等；“形”，我们可以将之理解为图形表征，如图像、实物等，数和形往往是密不可分的。数形结合的本质就是将抽象的数学问题转化为直观的问题，通过对数字和图形进行处理，将抽象问题具体化，将复杂问题简单化。数形结合思想是一种解决数学问题的思想方法，它是通过分析数学问题的代数和集合意义，通过数与形的结合，运用抽象思维和形象思维解决数学问题的方法[1]。

二、初中数学最值问题

在数学学习过程中，最值（最大值和最小值）是一类比较常用到数形结合思想的问题，也是初中数学学习中比较重要的内容之一。最值问题的解决需要学生具有广阔的知识面，并能灵活运用数学知识。解决最值问题要求学生不仅具有扎实的基础知识，还要具有灵活的思维，掌握解决问题的实质方法，具有创新意识，有数形结合的思想意识。

最值问题可以分为两种类型：第一种是代数中最大值和最小值的问题，如在现实生活中我们常常遇到的，利益最大、距离最短、花费最少、面积最大等问题，都是代数类最值问题。代数式的最值问题又可以分为三小类：第一类是关于方程未知数和函数变量的最值问题；第二类是求代数式的最值问题；第三类是关于数论的最值问题。第二种最值问题是几何最值问题，如在几何图形中有一个元素做规律的运动，这一元素在一定范围内变化，而与这一元素相关的量也将随之发生变化，这个变化的量存在最大值和最小值。几何最值问题又可细分为四小类：第一类是关于线段的最值问题；第二类是关于面积的最值问题；第三类是关于角度的最值问题；第四类是关于几何量的最值问题[2]。

三、数形结合思想在初中数学解决最值问题中的具体应用

初中数学最值问题主要考查学生的综合解题能力，对学习水平要求较高，而有效利用数形结合思想能够将复杂、抽象的最值问题变为简单、具体的问题。最值问题类型多样，解决的方法也很多，如何快速、正确地解决最值问题是学生比较关心的问题。在众多解决方法中，数形结合的方法是解决最值问题最好的方法，它能将最值问题转化为直观的形，也能将最值问题转化为抽象的数，如以数化形，以形换数等数形结合的方法。在求最值的过程中，通过数形结合、数形互变能够丰富学生对最值问题的认识，强化数学学习的美好体验[3]。

（一）以数化形，数形结合解决最值问题

在数学最值的学习过程中，有些数量关系比较抽象，只有简单、抽象的数据材料，在这种情况下，教师只讲解抽象的数据，无法让学生真正理解问题，因为学生的思维能力有限，对数量关系的认识比较模糊，难以正确理解所给的信息，无法体验问题的真正意图。而这时就需要教师以数化形，将抽象的数字转换为具体的形象，通过直观形象的呈现使学生对问题有正确的表征，从而在头脑中勾勒出关于问题的具体画面，并在直观认识的基础上，通过对数量关系的认识，提高解决问题的效率。

例1：求y=|2x|+x-1的最小值。

在这道题中，单纯通过一次函数的式子去求解y的最小值是很难的，教师单纯地讲解函数式也无助于学生的学习和理解，这时，教师就可以利用数形结合的思想，将数学关系式转化为函数图像，让学生在函数图像的帮助下，主动地感知函数图像的变化趋势、增减、最小值的情况。所以，教师可以让学生做出y=|2x|+x-1的图像（如图1），以观察它的增减性。