从被调侃的应用题说起

许雪梅 李祥平

【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A

【文章编号】2095-3089（2019）10-0286-01

【教学案例】小学数学中的“烙饼问题”。

早餐要吃烙饼，爸爸、妈妈和我每人1张。家里的煎锅每次只能烙2张饼，2面都要烙，每面3分钟。问：怎样才能尽快吃上饼？

审题是落实核心素养的第一步，也就是要分清楚条件和问题。就这道题来说，每次只能烙2张饼的准确含义是——烙1张可以，最多烙2张。爸爸、妈妈和我各要1张，言下之意是要烙3张。问的是“尽快”，意味着不可以一张张烙。

这样理解了条件和问题后，学生就开始计算：1张2面，每面3分钟，一锅可以同时烙2张，烙完需6分钟。剩下1张单独烙，也是6分钟。所以，烙3张共需12分钟。

当然会有学生质疑说，这不是最优方案，因为烙第三张饼的时候，锅的另一半是空着的。如果每次总能烙2张，别让锅空着应该是最省时间的。这就提出了一个猜想：3张也能不空。是这样吗？我们试一试：

第一步：第一第二张饼烙正面，3分钟；

第二步：第一张饼烙反面，将第二张饼拿出来，换第三张饼烙正面，3分钟；

第三步：第三张饼烙反面，第二张饼重新放进来烙反面，3分钟。

这样总共花费9分钟，时间最省。

问题解答到这里似乎是解决了，可每次教学时总有学生提问：第二张饼烙了一面拿走，晾在那里会不会半生不熟？老师的回答大同小异，说这是数学抽象，一些细节可以忽略不计。这么回答是对的，因为数学建模的时候只抽取关键量，不会考虑所有量。但是，这并不能令学生信服，因为这是联系实际的模型，必须经得起实际的检验，否则学生就要怀疑问题的意义。其实，如果你有生活经验，这个问题是很好回答的：把暂时不烙的第二张饼叠在1号饼上面，不就保温了吗？

再接下来，有的老师通过列表，让学生找到了一般的运算规律：3n（n是大于1的整数）。这已经不属于四年级下学期的学习范围了，他没有触及本题的真正核心。为什么偏偏要研究3张饼？首先，因为双数张饼正好可以一锅两个同时烙，不需要探究。而当我们知道了3张饼要烙多久后，烙5张饼的时间就相当于：烙3张饼的时间+烙2张饼的时间，烙7张饼的时间就相当于：烙3张饼的时间+烙4张饼的时间……依此类推，自然也不需要探究了。

继续拓展：如果将锅换得大一点，每次能烙3张，6跟9这些3的倍数就不用探究了，我们只需探究4张、5张的情况。4张探究了以后，7、10、13、……4+3n张不用再探究了。5张探究了以后，8、11、14、……5+3n张不用再算了。至此，其实是在引导学生做进一步的抽象，并在此过程中，渗透进一个很重要的数学背景——同余类（余数相同可以分为一类）。

其实，烙饼问题就是数学中典型的统筹规划模型，培养的是数学核心素养之一——建模。建模有以下几个步骤：建模准备，在烙饼问题中对应的是审题；模型假设，进行猜想——烙三张饼锅也能不空；模型构建——学生进行探究；模型求解——得出结论；检验——从数学上检验9分钟最省，因为锅要始终不空，从生活经验检验，一张饼烙了一面叠起来，可以避免半生不熟。

最后还有一个重要的环节——运用：烙饼问题在日常生活的广泛运用，正能够证明它作为模型的典型性和实用性。如：3辆洒水车一起加水，加满一车要8分钟，现在只有2个水龙头，怎样安排才能让3辆车尽快一起开走？一种电脑小游戏玩一局要5分钟，可以单人玩也可以双人玩，现在小东和爸爸妈妈一起玩，每人玩2局，怎么玩最省时间？四年级的孩子对这道题特别感兴趣，用连线的方式解答了出来。

你看，烙饼问题只是模型的载体，这里用不到，其他地方总会用到。

饱受批评的水池问题其实是一个简单的动态平衡模型。

一个水池，单开进水管60分钟满，单开排水管90分钟完。先开进水管20分钟，再两管齐开，多少分钟后注满？

我把它换一个说法，你就觉得有用了：

一个展览馆只进不出，60分钟人满为患。只出不进，90分钟满场的人可以走完。开馆前20分鐘只有进没有出，20分钟后有进有出，问多少分钟后需停止售票？

这个问题就有实际意义了，因为如果不进行人数控制，有可能发生踩踏事件（还记得几年前上海外滩发生的踩踏事件吗？）。而我们的应用题之所以沦落到被外行人批判的地步，一是因为取材不当，二是因为加工过度。但是，我们不能因此而否认这些题目承载的数学模型的价值。

再补充一个七年级数学上册中的《3.4实际问题与一元一次方程》中的例子（p100）：

例1某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母.1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？

这是配套问题，具体的分析和解答不谈，只讲讲听课后对授课教师的提问，似乎有点刁难的味道（因为谈新教师备课中的问题）：

（1）这个例题有没有更加生活化的例子？

有啊，露天考试的时候。一个同学可以搬运1张桌子，或搬运2张凳子。一个35人的考场，需要几个同学搬运桌子？几个同学搬运凳子？哎哎哎，你是生活委员，你来安排工作……。如果是开家长会，1个桌子配2个凳子，……，怎么安排学生搬运？

（2）问的委婉点：“某车间有22名工人”改为“某车间有25名工人”可以不可以？改为“某车间有77名工人”行不行？

没有研究，估计不行……这数字有什么奥妙吗？原因是你这么问了！/希望你下去自己研究一下。

（3）如果把“某车间有22名工人”改为“某车间有77名工人”，这77名工人要分成若干个小组，（隐含的条件是：每个小组每天生产的螺钉和螺母刚好配套），应该怎样分？（后续的问题是：每个小组配一个质检员……，装盒员……）这个问题太“发散了”，不问也罢！

估计会难倒一部分人（笑），请看答案：

1200：2000=3：5.

5个工人生产的螺钉数与3个工人生产的螺母数相等（比是1：1）.

5个工人生产的螺钉数与6个工人生产的螺母数的比是1：2.

5个工人和6个工人可以组成一个生产小组，每天生产的螺钉和螺母刚好配套.

如何根据上面的解题思路列出一元一次方程解应用题请读者自己完成了。“某车间有22名工人”改为“某车间有n名工人”，可能会碰到一个求最小整数解的问题了。

有没有想到“鸡兔同笼”的问题？

要做到数学抽象（及生活问题的数学化）和数学应用（即数学问题的生活化）这两者的辩证结合，说起来容易，做起来还真有点难。