利用递推关系求数列通项公式的典型方法解析

张海宏

摘 要：解答与数列相关的问题，通项公式是关键。那么怎么快速、有效地求解通项公式？就这一问题做一初步探讨，供大家参考。

关键词：递推关系；通项公式；累加；累积；待定系数；周期

数列的递推公式是给出数列的方式之一，根据递推关系求数列的通项公式，既考查学生对数列知识掌握情况，也考查学生观察能力、推理能力、判断能力。本文就因题而宜，正确利用递推公式求数列的通项公式做一步探讨。

一、利用递推关系特征用累加方法求通项公式

如果一个数列从第二项起，后一项减去前一项是一个与n有关的量，就用累加。即an-1-an=f（n），则an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1=f（1）+f（2）+…+f（n-1）+a1.

例：已知a1=2，an-1=an+ln（1+）.

解：a1=2，an-1=an+ln（1+），∴an-1-an=ln，∴an-an-1=ln（n≥2），an-1-an-2=ln…，∴a2-a1=ln（n≥2），∴an-a1=ln+ln+…+ln=lnn（n≥2）即an=lnn+2（n≥2）又a1=2，∴an=lnn+2.

二、利用递推关系特征用累积方法求通项公式

若一个数列从第二项起，后一项与前一项的比是一个与n有关的量，就用累积。即=f（n），则an=·…·a1=f（n）·f（n-1）…=f（2）·f（1）a1

例：求a1=，an=an-1（n≥2）求an.

解：an=an-1（n≥2），所以当n≥2时，=所以=，…，=，=.

以上n-1个式子相乘得·…·=·…·

即=·×2×1，所以an=，当n=1时，a1==也与已知a1=相符.

所以数列{an}的通项公式为an=.

三、利用递推关系特征用两边同加待定系数求通项公式

利用递推关系an=pan-1+q（p≠1），（若p=1，则用累加）两边同加同一个数，构成等比数列求通项。这类题型，给两边同加一个数，然后构成等比数列，利用等比数列通项公式求解。关键是两边同加这个数如何求出，下面就做一简单推理。

an=pan-1+q？圯an+b=pan-1+q+b=p（an-1+），若要构成等比数列，则b=？圯bp-b=q？圯b=（p≠1）.

若p=1，则用累加求通项公式。

例：a1=1，an+1=an+1（n∈N*），求an.

解：p=，q=1∴b==2，an+1-2=（an-2）？圯=.

則{an-2}是以a1-2=-1为首项，q=为公比的等比数列，故an-2=（a1-2）·（）n-1？圯an=2-（）n-1=2-（n∈N*） an=pan-1+q（p≠1）如果q是幂的形式，即an=tn+tan-1则等式两边同除以tn，化为等差数列来求解。

四、用递推关系特征用两边同除以交叉项求通项公式

如果一个数列从第二项起，后一项与前一项的和交叉项的积都有关系，则根据题型特征给两边同除以交叉项，变为等差数列求解。

例：已知a1=，且当n>1时，an-1-an-4an·an-1=0，求an.

解：an-1-an-4an·an-1=0？圯-=4，{}是以=5为首项，d=4为公差的等差数列，故=5+4（n-1）？圯an=.

五、利用递推关系特征用递推公式及函数的周期性求通项公式

如果一个数列递推关系也是用分时给出，但等式右边分子、分母都含常数项，而且变量比较大则考虑周期。

例：已知a1=0，an+1=（n∈N*），求an，a20.

解：a1=0，a2=-，a3=，a4=0？圯a1=a4=a1+3？圯T=3an=0 n=3k- n=3k+1 n=3k+2（k∈Z），a20=a3×6+2=a2=-

利用递推关系求数列的通项公式的方法是多种多样的，以上方法是最典型的几种。如果掌握了这些方法，可能给大家带来某种启发触发灵感，起到举一反三、触类旁通的效果，能根据具体题型特征灵活正确地求解数列通项的相关问题。

编辑 冯志强