用等效的思想求简谐运动的周期

陈刚　王金聚

摘 要：一些振动装置看上去虽非单摆、弹簧振子，但通过与单摆、弹簧振子模型作比较，却可以找出与模型中的摆长、重力加速度、振子质量、劲度系数相等效的量，将这些量代入两模型的周期公式，同样可求出这些振动装置的振动周期。

关键词：单摆；弹簧振子；振动装置；等效量；周期

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2016）11-0051-3

单摆、弹簧振子是简谐运动的两个常见的理想模型，其振动周期分别为T=2π 和T=2π 。但有时我们会遇到一些与单摆、弹簧振子模型相类似的振动装置，这些装置的振动周期虽然不能利用上述公式直接得出，但若将它们与单摆、弹簧振子模型作比较，却可以找到与两模型周期公式中某些量相对应的等效参量，如等效重力加速度、等效摆长、等效质量、等效劲度系数等；利用这些等效量同样可以求得这些装置的振动周期。

1 等效重力加速度

真空中单摆小球的受力最为简单：摆线拉力和重力。其受力特点是：重力是一个恒力。但有些摆动的物体受力虽然较多，但除了摆线的拉力外，其余各力的合力仍为一个恒力，则这一恒力就相当于一个等效的重力，可视为mg′，则g′就是一个等效的重力加速度，将其代入单摆的周期公式，就可以求得这类摆摆动的周期。

例1 如图1所示，一质量为m的摆球固定在边长为l0、质量不计的等边三角支架ABC的顶角A上。三角架可绕固定边BC自由转动，BC边与竖直方向的夹角为α，求小球m做小幅度振动的周期T。

解析 如图2所示，过A点作BC的垂线交BC于O点。摆球做微小振动时，其轨迹处在过A点、垂直于BC的平面内，且在以O为圆心、OA为半径的一段圆弧上。将重力mg沿OA和垂直于OA的方向分解，则二分力大小分别为mgsinα、mgcosα。与单摆模型相比较，可把该装置等效于一个悬点在O点、摆长为OA的单摆，其等效重力沿OA方向，大小为mg=mgsinα。所以，等效重力加速度g=gsinα，等效摆长l=l0sin60 °= l0，代入单摆周期公式得该小球的振动周期为：

T=2π =2π 。

2 等效摆长

单摆的摆长是悬点到摆球重心的距离。单摆的悬点只有一个，但对双线摆而言，却有两个悬点，如果我们想比照单摆的规律寻找双线摆的周期，则要在脑子里把双线摆的双线等效转化成单线，即把本来是两个悬点的问题转化成一个悬点的问题。那么，转化后的这 “一个悬点”在哪里呢？就需要我们依照单摆的结构特点去寻找。

例2 如图3所示，由质点小球和两根细绳组成的摆，两绳长分别为L1、L2，且相互垂直，不等高的悬点O1、O2的水平距离为L，求该摆在垂直于纸面方向做微小振动的周期。

解析 如图4所示，连接O1、O2，作 ⊥ ，垂足为M点。在球摆动的过程中，△O1O2P以O1O2为轴转动，P点的轨迹是以M点为圆心、MP为半径的一段圆弧。

实际上，在例1的解析中我们不仅借助了等效加速度，同时还借助了等效摆长的概念。如果沿用例1中“双等效”的思路，则图4中的M点就是我们所要寻找的“一个悬点”，即可以把该摆看作是以MP为摆长、gcosθ为等效重力加速度的一个单摆，设∠OPM=θ，则周期就可以通过公式T=2π 来计算了。

如果我们仅利用等效摆长的概念能否解决该题呢？答案是肯定的。

从P点作一竖直线交O1O2连线于O点，在原双线摆摆动的过程中，PO连线上只有O点未发生移动，根据单摆悬点的特点，O点就是等效单摆的悬点，即我们所要寻找的“一个悬点”。OP的长度就是等效摆的摆长，设 =l，则周期为T=2π =2π ，这与上述用“双等效”的思路推出的结果完全一致。

3 等效质量

一些含有弹簧的振动装置，与弹簧相连的可能不是一个简单的振动小球，而是有几个物体构成的连接体。要想求得在此种情况下该装置的振动周期，就需要把这些连接体等效转化成一个振动小球来看待。如果连接体内的物体处在加速状态，我们还要借助牛顿运动定律来计算振动小球的等效质量。

例3 一简谐运动系统如图5所示，弹簧下端固定，滑轮质量不计，绳不可伸长，弹簧及两滑轮外的细绳都呈竖直状态，不计一切摩擦。已知m1、m2的质量及弹簧的劲度系数k，求m2上下振动的周期T。

解析 由于题中没有给出m1、m2的量值大小关系，故系统平衡时弹簧是伸长还是压缩状态我们无法确定。在不影响最终结果的前提下，我们不妨任意假设一种情况——设系统平衡时弹簧是伸长的，其伸长量为x0。则对m1有

与牛顿第二定律比照可知：式中的m1+ 可视为m1、m2组合的等效质量。将该等效质量代入弹簧振子的周期公式T=2π ，即可求得该装置的振动周期T=2π 。

4 等效劲度系数

在光滑水平面上振动的弹簧振子受力最为简单：所受合力就是弹簧的弹力，其大小满足胡克定律F=kx，其中k是弹簧的劲度系数，F与x方向相反。有些振动装置虽无弹簧，且看上去与弹簧振子模型相去甚远，但我们仍可把它与弹簧振子模型相类比，找出振子所受回复力与位移的大小关系式F=F（x）。如果回复力与位移大小成正比，即F∝x，则我们就可以把比例系数 =k等效看作是某一弹簧的劲度系数，将k值代入T=2π 同样可求得这些装置的振动周期。

例4 如图6所示，一质量为m的柱体圆木，直立于密度为ρ的液体中，浸没部分的体积为V0，圆木横截面的直径为D。现用手缓缓将圆木下按后释放，圆木就会上下振动。水的阻力不计，已知重力加速度为g，试求这一振动的周期T。

等效法在生活中有着广泛的应用，像曹冲称象、阿基米德测量皇冠的体积等故事，都巧妙地利用等效的观点解决了一些看似难以解决的问题。但是，我们在利用等效法处理问题时务必要小心谨慎、三思而后行，切记利用等效法的前提是等效。不抓住等效这一先决条件，主观臆断，将本不等效的东西生拉硬扯地作“等效处理”，就会得出错误的结果。

参考文献：

[1]陈栋梁，陈钢.“面摆”的等效摆长[J].物理教学，2014（12）51—52.

[2]扈剑华.首辅一号[M].北京：光明日报出版社，2004.

（栏目编辑 陈 洁）