小课题研究：数学深度学习的新视角

窦平

【摘 要】数学小课题研究代表了数学课程改革的一个方向，体现了深度学习的基本要义。数学小课题研究立足综合，旨在创建深度学习情境，其研究式的方式学习突破了数学学习内容的局限性，打破了学习组织形式上的封闭性，在培养学生的应用意识和创新意识、促进深度思考、发展高阶思维等方面有着显著的作用。小课题研究着眼于实践，以期实现向“学习者为中心”和“能力为中心”的教与学转型。

【关键词】数学;小课题研究;深度学习

【中图分类号】G623.5  【文献标志码】A  【文章编号】1005-6009（2019）17-0037-03

数学小课题研究是指在教师的指导下，学生综合运用已有的知识和经验，通过自主探索与合作交流，解决一些与数学知识、生活经验密切联系的、具有挑战性和综合性的问题的研究式学习活动。数学小课题研究式学习基于深度理解，以发展核心素养、训练高阶思维和解决现实问题为目标，以整合知识为内容，引导学习者积极主动地、批判性地开展研究，学习新知识、新思想、新方法，并将它们融入学习者的认知结构，以促进其知识迁移与技能发展。

一、数学小课题研究体现深度学习的基本要义

1.小课题研究倡导创建深度学习的情境，整合意义联接的学习内容。

相对于浅层次的学习而言，深度学习通常发生在复杂的社会环境和学习环境中。数学小课题立足综合，通过创设有意义的学习环境，帮助学习者实现深度学习和深度理解。它注重多种知识和信息间的联接，其内容的选择体现数学学科内部知识性综合和数学学科外部跨学科性整合，将数学的学习置于社会、生活等广阔的背景之中，强调内容的有机整合。课题创设的学习情境，要通过对话、协商、反思等研究式学习活动强化引领。

2.小课题研究主张确立促进高阶思维发展的教学目标，力求深度思考。

高阶思维能力的达成度是区分深度学习与浅层学习的重要指标。数学小课题研究指向深度思考，体现了数学教学的本质追求，研究过程承载着理性精神的启蒙。研究性的学习方式能改变学生对数学学习的固有印象，学生由寻找标准答案转变为创造性地解决问题，感受到学习不只可以“这样”，还可以“那样”。研究优化了学生的数学思维方法，归纳、类比、联想、猜想、特殊与一般等高阶思维在小课题研究的过程中能够得到发展。

3.小课题研究强调让学生多向互动，深度参与学习过程。

小课题研究倡导的研究式学习要求教师要有“让”的意识、“退”的勇气和“引”的智慧，让学生真正走到“前台”，主动探索。小课题研究倡导通过提问、补充、质疑、评价等方式形成“研究型对话”的氛围，引导学生发表自己的观点，倾听并深入思考他人的观点。小课题研究还需要构建学习共同体并给予支持。面对一些富有挑战性的问题，有时候需要师生、生生、学生与家长之间共同合作才能解决。研究要充分发挥团队成员的特长，合理分工，还应寻求校内外力量，从而为课题的实施提供智力支持。

二、构建数学小课题研究的实践样本

1.精选课题：找到深度学习的富矿。

构建小课题研究的样本，首先要确立研究方向。学生选择什么样的课题进行研究直接关系到研究的进程、深度和质量。问题的确立应以学生已有的数学知识和生活经验为出发点。问题还要具有综合性和开放性，对学生来说是一个新的问题情境，有着较为宽泛的数学背景，具有持续学习、探讨的可能性。问题可以从教材、日常生活以及数学游戏中生成。

课题源于对教材资源的开发。教材中蕴藏着大量适合开展小课题研究的内容。教者可结合教材内容开发资源、设定选题。例如：初步学习图形的密铺后，引导学生研究图形密铺的秘密;学会计算长方体、正方体的表面积后，让学生研究怎样打包最节省包装纸，探讨商品打包的学问。

课题源于对日常生活的提炼。课题可以是日常生活中的具体问题。例如：某交通要道人流量与车流量的调查研究;从每个家庭每天丢一个塑料袋看环境污染;绿化对气温的影响;等等。从数学的角度对这些问题进行研究，能使学生关心社会问题，增强社会责任感。

课题源于学生喜闻乐见的数学游戏。游戏是儿童认识世界的方式，是儿童发展的途径。游戏文化也是儿童文化的重要组成部分。教者要善于发现数学好“玩”的地方，提供可玩的数学素材，选取好玩的问题，使小课题研究的内容贴近学生的生活经验，激发他们“玩数学”的兴趣。例如：可以带领学生玩跳方格游戏，一排格子学生每次可以跳1格或2格。并提出问题：从起点跳至最后一格共有多少种跳法？学生可以由跳法种类的研究进而学习斐波那契数列与黄金分割比的知识。

选题时还应注意以下几点：首先，避免选题过大或过小，找不准切入点。选题若把握不好尺度极易出现选题过大或过小的情况。其次，选题不切实际。有些选题是学生现有水平无法完成的。再次，选题缺乏新意。课题缺少新颖性，觉得什么易做就选什么。最后，选题笼统抽象。有些小课题看了不知道要研究什么，显得笼统、抽象。

2.强化过程：以研究式学习落实深度学习。

构建小课题深度学習的样本，要强化研究过程。研究的过程为：问题的生成→组建研究小组→制定活动方案→实施活动方案→汇报与交流。教师应引导学生制定好研究方案，要加强针对性指导。教师适时扮演学生的伙伴、参谋、观众等角色，有效组织学生自主参与和合作探索。

导向研究，要对研究方法进行指导。数学小课题研究有别于数学常态课教学，更加注重研究式学习品质的培养，教师要综合学生的年龄特征、认知规律以及小课题特点，选择合适的研究方法。方法主要有数学实验、调查统计、观察日记、文献分析、论证推理等。例如：研究“家庭理财存款”主要是运用查阅资料、计算比较等方法;研究“一盘蚊香能燃多久”主要通过实验法;研究“古人是怎么计时的”主要通过文献查阅法。

导向研究，要讲求研究的效度。小课题研究因其探索性、实践性等特征，一般不能在课堂上完成，教师需要打破课堂教学的时空边界，课内外相结合。教师在课堂中讨论解决问题的方法，布置课后研究任务，然后回到课堂中交流;或以“研究报告”的形式，延续几天、几周或者几个月，鼓励学生用课外时间思考，然后集中汇报。教师要引导学生做好课内外内容的有效衔接，明确课外活动的任务，提高学习效率。还要合理安排课外任务的时间和任务量，避免加重学生课业负担。

导向研究，成果表达要遵循个性化原则。在汇报交流小课题研究成果时，可采用多种表达方式：成果的呈现可以是一件作品，可以是一份研究报告（包括调查报告、实验报告），也可以是一篇小论文，这要根据课题的具体情况而定。教师可以呈现一些课题研究成果让学生分析、讨论，为什么要用这种表达形式，有没有更好的表达形式。教师还可以专门组织学生对自己研究的课题进行讨论，分析采用什么形式来表达研究成果更为恰当。

3.多元评价：促进深度学习的可持续发展。

小课题研究式学习要借助多元评价促进可持续发展。数学小课题研究强化解决问题的过程评价，评价时不以是否获得最终答案为唯一标准和主要标准，应以过程评估为主。评价要体现多元化，要关注学生的数学精神和品质，还要关注数学的思考与运用（见图1）。

对数学精神与品质的评价，首先体现在积极的情感体验的获得，要观察学生是否获得应用数学的体验，形成自主质疑、乐于探索、主动求知的心理倾向。其次，要评价学生是否学会沟通与合作，观察学生是否具有乐于合作的团队精神和交往能力。最后，要逐步形成科学态度和科学道德，要观察学生是否认真踏实、实事求是地开展研究，是否尊重他人的思考和成果，不弄虚作假，是否养成严谨求实的科学态度、勇于克服困难的意志品质。

对数学的思考与运用的评价，首先，要关注学生发现问题的能力，观察学生能否在纷繁复杂的社会生活的情境中发现并提出与数学有关的问题。其次，要关注提高收集、分析和利用信息的能力，学生数学小课题研究是围绕一个需要解决的问题而展開的，在整个过程中，学生如何多渠道收集资料、整理资料，尤其是在开放的环境中如何自主收集和处理加工信息是关键。最后，评价要关注学生应用数学知识、解决问题的能力，看他们是否会运用分析、综合等手段，从多种角度进行发散性、批判性思考，初步形成高阶思维能力。