中学数学解题的LFSTM模式*

□欧阳亮 胡典顺 张玉环

（1.华中师范大学数学与统计学学院，湖北武汉 430079；2.河南大学数学与统计学学院，河南开封 475004）

《普通高中数学课程标准（2017年版）》提出高考命题“重点考查学生的思维过程等”[1].然而，很多学生在解题时思维过程不清晰，是通过反复的“试误”来确定解题方法的.产生这种现象的原因很多，解题思维模式是一个主要因素.

G.波利亚在谈到数学怎样解题时说：“等价辅助题目链在数学论证中是司空见惯的.”[2]46所谓的“等价辅助题目链”是指，在解题时，对题目进行一连串等价变换时所得的题目.等价辅助题目链的作用就是将原来的求解题目变换成已知的或是明显可以解答的题目.但是等价辅助题目链变换的目标需要方向性.

在对K市五名中学数学教育专家访谈的过程中我们发现，专家的解题思维是连贯并有方向性的.同时，在K市一所省示范性中学高三年级随机抽取一百名学生进行数学解答题测试.选取区分度大于0.4的三个题目进行分析.计算学生这三个题目的总分，对比高分组（前27%）和低分组（后27%）的试卷.我们发现高分组的测试卷这三个题目由于解题方法变更而产生的涂改次数为22次；低分组的测试卷由于解题方法变更而产生的涂改次数为103次.从对比中发现，解题能力强的学生对于等价辅助题目链的搜索是有方向性的；而解题能力弱的学生，对于等价辅助题目链的搜索是没有方向性或是方向性很弱.基于此种情况，我们提出了中学数学解题的“少熟同思维模式”（Less-Familiar-Same Thinking Model，简称LFSTM），为中学数学解题等价辅助题目链的产生提供方向.

一、中学数学解题的LFSTM模式

（一）中学数学解题思维——“少”（Less）

以求函数值域为例来阐述中学数学解题遵循“元素”化少的原则.

例1求下列函数的值域，其中x∈(-1,1)：

（1）y=2x+3 ；（2）y=x2+x+3 ；（3）y=

解析：（1）略 .（2）函数配方得：y=(x+，值域为[,5)（.3）原函数化为y=，值域为(-∞,1).表1是对例1的分析.

表1

例1（2）与例1（3）等价辅助题目链的变换方向是把x化“少”，化成例1（1）只含有一个x的形式.常见的“元素”变少解题方法见表2.

表2

（二）中学数学解题思维——“熟”（Familiar）

数学思维具有相似性[3]的特点.数学思维的相似性是思维相似律在数学思维活动中的反映.数学思维的相似性普遍存在，在创造性思维活动中发挥着重要作用.而由相似性产生的思维方向就是将陌生的题目通过等价辅助题目链变“熟”悉.

例2求下列函数的值域，其中x∈[1,2]

例2（1）是常见的求函数值域题型，即“熟悉”的题型.例2（2）、例2（3）的思维过程就是通过等价辅助题目链将题目变成例2（1）“熟悉”的形式.这种思维的方向即是“熟”.把题目化“熟”是中学数学解题中常见的思维方向.中学数学解题中常见的题目化“熟”方法见表3.

表3

（三）中学数学解题思维——“同”（Same）

化“同”为题目的化“少”和化“熟”指明方向.

例3 关于x的方程（m∈R，e为自然对数的底数）有三个不同实根x1,x2,x3，且x1＜ 0＜x2＜x3，求的值.

二、LFSTM是优良的数学解题思维模式

（一）LFSTM体现了数学思维的简约

丘成桐说：“数学之美在于简约严谨.”[4]刘道玉也指出：对数学学习感到枯燥的学习者，大都是对数学没有产生兴趣，或是没有掌握学习数学的规律，特别是抽象的思维能力与简约思维[5].可以看出，简约是数学思维的方向.LFSTM的本质是把题目元素变少，变熟，变同，体现了数学思维的简约.

（二）LFSTM是一种在解题过程中具有普适性的数学思维

1973年库泊[6]251等人通过“心理旋转实验”，发现人们在完成作业时总是倾向于把作业中的元素转换成最初的表象.实验结果说明在解决问题中思维倾向于“熟悉”的表象有助于思维活动的顺利进行，具有普遍性.所以，LFSTM提出的在解题过程中等价辅助题目链朝“少熟同”方向变换的思维模式具有普适性.

张景中利用把约束点化“少”提出了证明几何定理的消点算法[7].LFSTM其实是将已在计算机上实现的消点算法推广到数学解题过程中的思维模式，可操作性较强，适用面广.

（三）LFSTM有利于问题的解决

胡典顺[8]指出，代换是数学解题中常用方法，在很多数学问题的求解中经常用到.代换往往能够达到化难为易、化陌生为熟悉的神奇功效.G.波利亚[2]46在谈到数学怎样解题时指出，如果你不能解所提的题目，你是否应该引入某个辅助元素？能否想到一道更容易着手的题目？更为普遍化的题目？类似的题目？1998年Ashcraft[6]281提出了有利于问题解决的10种方法.第8条“寻找当前问题与过去相关问题的联系性”，强调在解决问题时，要积极考虑当前问题与你曾经解决的问题或你熟悉的问题有哪些相似性，然后用类似方法解决目前问题.

结合上述理论，我们发现，在解题过程中，将陌生的题目经过等价辅助题目链变换成熟悉的题目有助于问题的求解.

LFSTM是一种为中学数学解题等价辅助题目链的产生提供方向的思维模式.教师可以将LFSTM融入习题课、试卷讲评课、复习课，或是概念课的习题演练环节.学生可以应用LFSTM指导等价辅助题目链的产生，为解题提供方向.另外，我们无意提倡和暗示某种数学思维模式比其他模式更为有效合理.