立足三个理解 设计课堂教学——以函数最大（小）值为例

□李红春 孔 峰

（武汉市黄陂区第一中学盘龙校区，湖北武汉 430312；武汉市教育科学研究院，湖北武汉 430032）

前不久，笔者受武汉市教科院和中国教师发展网新高考研究院邀请，在“湖北省武穴市新高考高端培训会”上，给全市高三教师上了一节题为《函数的最大值与最小值》（第1课时）的展示课，受到现场专家老师的普遍欢迎，大家一致认为，本节课教学目标明确，教学环节设计精巧，教学过程流畅，问题解决有效，体现了新课程的理念，在落实核心素养的教学中起到了良好的示范作用，值得反复品味.

一、教学过程

（一）创设情境，激发兴趣

教师：同学们，函数是研究两个变量关系的重要模型，求函数的最值是高中数学中一类非常重要的问题，同学们之前已经接触过不少求函数最值的方法，如配方法、换元法、不等式法、单调性、图象法、构造法等，请为下列函数选择恰当的求最值的方法：

教室里气氛异常活跃，学生齐声回答：配方法、不等式法、换元法、单调性法！

教师：非常好！看来大家对以前所学的方法比较熟练，谁能告诉我下面两个函数在指定区间有最值吗？如何求呢？

课堂顿时安静下来，无人应答．

教师：看来大家已学的方法还有其局限性，人总是在不断地学习中才会进步，今天我们要来学习一种适用范围更广、解题功能更强的方法——导数法．

学生们的眼神中闪现出求知的欲望和兴奋．

（二）回顾思考，铺垫新知

教师：请大家观察下列图形（如图1），找出函数的极值点，并说明依据．

图1

学生 1：x1，x3，x5是函数的极小值点，x2，x4，x6是函数的极大值点，从图形上看，极小值点对应着图形的波谷，极大值点对应着图形的波峰，在极小值附近左侧，函数值递减，右侧函数值递增；在极大值附近左侧，函数值递增，右侧函数值递减；从数的角度看，极小值点附近导数左负右正，极大值点附近左正又负．

教师：由图1可知，一个函数可能有多个极值点，极值点只能反映函数的局部特征，事实上，在生活中，我们更关心的是函数的最值，函数在什么条件下一定有最大、最小值？它们与函数极值有什么样的关系？如何求函数的最值？

（三）问题引领，构建新知

教师：请大家观察以下四个开区间内连续函数的图象（如图2），判断函数是否存在最大值或最小值，如果存在，指出最值所取得位置．

图2

学生2：第（1）个函数既无最大值，又无最小值；第（2）个函数有最大值，无最小值，最大值在极大值点处取得；第（3）个函数有最小值，无最大值，最小值在极小值点处取得；第（4）个函数既有最大值，又有最小值，最大值在极大值点处取，最小值在极小值点处取．

教师：这四个函数的图象都是一条连续不断的曲线，像这样的函数我们称之为连续函数，结合以上四个图象，你认为连续函数在开区间上最值存在的情形有着怎样的一般规律？

学生3：在开区间上，连续函数可能有最大或最小值，也可能没有，如果有，一定在极值点取.

教师：若将以上四个连续函数图象所在区间由开区间换为闭区间，最值存在的情形是否会发生改变，你能从中发现什么规律？

学生4：闭区间上的连续函数，一定有最大值和最小值，最值不在端点处取，就在极值点处取．

教师：请大家根据下列两个函数的图象，判断在所给区间上最值存在的情形：

学生5：函数f(x)在该区间既无最大值，也无最小值；函数g(x)在该区间既有最大值，也有最小值．

教师：和前面四个函数比较，你认为造成f(x)没有最值的根本原因是什么？

学生6：图形在区间内发生了间断，没有连续不断．

教师：从刚才几组图形中，你觉得函数在某个区间一定存在最值，需要满足哪些条件？

学生7：闭区间且连续！

教师：非常好，大家觉得这两个条件是什么条件？充分条件还是必要条件呢？

学生8：充分条件！因为前面的例子中有些函数在开区间内也存在最大值和最小值，由刚刚g(x)的图象可知，不连续的函数在闭区间也可能存在最值．

教师：刚才我们只是从图形分析极值，如果给出的是函数解析式，如何求其极值呢？

学生9：先求出导函数的零点，再根据导函数在其零点附近左右两侧的符号来判断它们是否为极值点，是什么极值点，即数左负右正为极小值点，左正右负为极大值点．

（四）学以致用，反思提升

师生共同完成例1的解答过程.

例1求函数在区间[0,3]上的最值．

接下来，由学生具体总结出解答步骤：（1）求出函数的极值；（2）将极值与端点值比较．

PPT展示练习：巩固1、巩固2，并让两名学生同时演板；5分钟后，两名学生给出了解答．

巩固1：求函数f(x)=2lnx-x,x∈[ 1,3]的最值．

巩固2：求函数y=x4-2x2+5在区间[ -2,2]上的最大值与最小值．

教师：巩固1是本节课刚开始大家不会求解的问题，短短十几分钟后大家就能解决了，真了不起！（学生露出喜悦的笑容）

教师：如果我们将巩固1的闭区间改为开区间，函数还有最值吗？

学生（集体）：有最大值，无最小值！

教师：开区间上的连续函数只有一个极值点，这个极值有何特征？

学生10：是最值！

教师：能用以前学过的方法求解巩固2吗？

学生11：可以，将x2看成一个整体，用换元法转化为二次函数再求解．

教师：如巩固2，在求出导函数的零点后，依次通过分析在这些零点两侧导函数的符号来确认是否为极值点，当区间较多时，过程较为烦琐，必须确认导函数的零点是否为极值点吗？解答能否优化？

教室里顿时热闹非凡，同组之间展开了热烈的讨论，几分钟后，学生举起了手．

学生12：直接将导函数零点处的函数值求出，与端点值比较，不需判断其是否为极值点，导函数的零点包含所有的极值点，所有导函数零点处的函数值包含极值，即便有些导函数零点不是极值点，但这些地方的函数值也是函数能取到的值．

教师：非常好，认识很深刻！

PPT显示巩固3和巩固4，教师让学生用优化后的方法完成，几分钟后学生顺利给出了解答．

巩固 3：求函数f(x)=6+12x-x3在[ -3,3]上的最大值与最小值．

巩固4：已知函数f(x)=2x3-6x2+a在[ -2,2]上有最小值-37，

（1）求a的值；（2）求f(x)在[ -2,2]上的最大值．

（五）对比分析，提升认识

PPT显示如下5个命题，教师让学生判断真假，学生在讨论交流后给出了正确的回答．

（1）“最值”是整体概念，而“极值”是个局部概念．

（2）若函数在给定的区间上有最值，则最多有一个最大值，一个最小值；若函数有极值，则可有多个极值．

（3）若函数在开区间有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．

（4）函数有极值的未必有最值，有最值的未必有极值．

（5）极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．

（六）归纳小结，完成建构

本课以闭区间上的连续函数的最大值和最小值“是否存在、存在于哪里、怎么求”为线索展开.你有哪些收获？和以前学习的函数求最值的方法比较，用导数法求解有什么特点？

二、教学思考

章建跃教授提出了“三个理解”的教育理念，即“理解数学、理解学生、理解教学”.下面，笔者从“三个理解”的角度，谈谈本节课的教学体会．

（一）理解数学——明确教材编写意图，确立适切的教学目标

理解数学，首先是要理解教材，如何正确理解教材编者的意图和教学目标，教材的编排体系和知识结构及教材内部联系和规律是怎样的，如何根据学生实际情况灵活处理教材等．

本节主要研究闭区间上的连续函数最大值和最小值的求法与函数导数之间的关系及其简单的应用问题，分两课时，这里是第一课时，它是在学生已经会求可导函数的极值之后进行学习的，学好这一节，学生将会求更多的函数的最值，并且以本节知识为基础，可以解决科技、经济、社会中的一些如何使成本最低、产量最高、效益最大等实际问题，为下一节“生活中的优化问题”的教学打下坚实的基础．这节课集中体现了数形结合这一重要的数学思想方法，学好本节课，对于进一步完善学生的知识结构，培养学生直观想象、抽象概括能力等核心素养的培养具有积极的意义．

（二）理解学生——在学生最近发展区精心设置问题

理解学生，就是理解学生的知识基础、认识特点、学习方式和习惯等，教师只有弄清这些才能做到有的放矢，充分发挥学生在课堂中的主体地位，这就要求教师既要理解数学知识与学生已有数学经验的联系，又要理解当前知识与学生已有认知结构的距离．授课前，笔者了解到授课对象为普通高中平行班的学生，学生基础不牢，学习数学的主动性不强，平常的学习习惯于被动接受，少数学生还有厌学情绪，基于这一点，为了能充分调动学生学习的积极性，本节课采取小组合作探究模式，每8人一组，采取抢答得分模式，激活学生集体主义意识．本节课设计的问题以基础和中档题为主，问题之间的跨度较小，在循序渐进中增加问题的深度，每一个问题的设置力求在学生的最近发展区，如引入部分将“求函数的最值”设计为“给出名称，选择方法”，在极值与最值的区别与联系的比较中将“学生自己归纳”设计为“让学生在理解的基础上去判断命题的正误”；课后作业分必做题和选做题，也是考虑学生现实基础和个性发展的需要．

（三）理解教学——通过问题驱动激活学生思维

理解教学，是指遵循教学的规律，灵活选择教学活动的组织方式，如及时发现亮点进行调控、问题如何解决才能让思维变得流畅、如何让学生获得沉浸体验等.数学教学是培养学生思维能力的活动，数学教学离不开探究过程，通过问题驱动让学生积极思考，主动钻研.为激发学生学习的兴趣和求知的欲望，本节课从学生解题的实际需求出发设计问题.引例中学生现有方法无法解决的两个问题，成为课堂发展的内在驱动力，学生掌握新方法后成功解决了问题，获得了积极的情感体验，学习数学的信心增强，本节课的难点是最值的存在性分析和求最值方法的优化，这需要层层递进逐步提出，精心设计难度合理的问题串，引导学生的思维．通过学生的主动活动，包括观察、比较、归纳、猜想、交流等，让学生亲身经历数学知识的建构过程.在数学活动中，学生的知识与技能、数学思考、问题解决、情感态度都将在主体参与的碰撞和生成活动中得到落实.努力体现“教师为主导、学生为主体”的数学教学思想，引导学生主动参与到课堂教学全过程中 .