浅谈直观演示中的数学教学

摘 要：《课程标准》强调：“要重视直观，处理好直观与抽象的关系。”从这句话中不难看出，直观教学在小学数学教学中占据重要地位，因而教育专家与一线教师努力加工教材，尽可能使抽象的数学内容直观具体化，目的是促进学生头脑中数学知识的形成。不过，重视直观的同时，抽象也不可偏废。

关键词：直观;抽象;数学教学

停留在直观层次的数学教学，知识点零散，学生难以把握数学知识的内在联系，无法构建知识网络，更别谈在数学中渗透思想与方法了。所以小学数学教学应直观引入，保证数学知识的形成;逐步抽象，使数学知识确立并形成知识结构。本着这一原则，笔者深入思考小学中分数的定义，产生了如下认识。

一、 份数定义：分数意义的直观理解

第一学段初步认识分数，以具体例证的方式给出分数的定义：像13、14这样的数叫作分数，不过第一学段的分数总会赋予一定的生活意义，便于学生的理解。比方说：13表示把一块蛋糕平均分成3份，表示其中的一份。第二学段再次认识分数时，则明确给出了分数的定义：把“单位1”平均分成若干份，表示其中一份或几份的数，叫作分数。对比两个不同的学段，对于分数意义的理解实际并无区别，唯一不同的是将具体物体抽象成“单位1”。经过第二学段的学习，学生认识到这个“单位1”不仅表示一个物体，还可以表示几个物体，概括讲是表示一个整体。而我们遇到分数时，无一例外需要对一个整体平均分，并明确需要表示出几份。经过这样的过程，学生就能够在头脑中完善、形成一个“有血有肉”的分数。

以上分數定义中，需要明确平均分的份数以及要表示的份数，因而可称为“分数的份数定义”。用这样的方式定义分数有其合理性。首先，直观形象地表示部分与整体的关系，需要分成几份，需要表示出几份。并且通过对大量实例的观察总结中，学生认识到了“平均分”的重要性。再次，便于学生理解分数相加减得到的结果的合理性。总的来说这样的定义方式以直观形象的特点著称，符合低年龄段学生的认知特点。到了第二学段，学生的思维能力与认知结构均有了一定的发展。这时候，对分数意义的认识理应有新的突破，向分数的本质内涵深入，往抽象层面发展;而非仍然强调以分物体的方式理解分数的意义，停留在对分数的直观认识上。因为不断强化分数的份数定义，容易使学生形成对分数的狭隘认识与思维定势。举个简单例子，下面的图形在学生初步认识分数时经常用到，不可谓不熟。在问及：“看到这个图形你能想到什么分数时”，学生也能快速给出14的答案。“还能表示其他的分数吗？”很少有学生给出不同的答案了。第二学段再次认识分数后，还是提问这两个问题，学生反应仍是如此。这不得不让人深思了，难道这幅图只能表示“14”？答案当然是否定的。而学生之所以出现这样的回答，势必与课上、练习中反复强调“分数的份数定义”有关。看到一个圆被平均分成4份，就将圆视为整体（单位1），并且被平均分成4份;看到其中较为醒目的黑色，自然而然的视为需要表示出的1份。通过这则案例，不难想象大部分学生会带着以分物体理解分数意义的方式离开小学，进入初中学习。而这种停留对分数直观层面意义的理解方式，不利于学生认识分数的本质意义，更无益于明晰分数、除法的内在联系，构建知识网络。正确的态度是以分数的份数定义初步认识分数，但不应过度强调;到了第二学段，要尽可能以较为抽象，接近分数本质的定义理解分数。

二、 商定义：分数本质意义的表达

最初分数的产生源于实际度量的需要，剩下的部分不能恰好量尽，那么剩下的是多少呢？这时就需要一个新的数表示。而在数学中以逻辑方式给出定义则是出于整数系对于除法运算封闭的需要。所谓封闭是指：若某集合（数系）内两个元素经过某种运算得到结果仍然是该集合里的元素，就称该集合对于这种运算封闭。基于此，我们发现整数系对于除法并非总是封闭的，比如：3÷5的结果，显然这一结果无法在整数系中找到对应的元素。为了使除法对于整数系总能够实施，就有必要将整数系扩充，使得某些除法运算的结果得到合理的安排。自然经过扩充后的整数系不再是原本意义上的整数系，形成了有理数系。而有理数系与整数系的区别在于添加了一种新的元素——分数。由此看来，分数与除法是有内在联系的。a÷b（b≠0），当b能整除a时，得到的商是整数;当b不能整除a时，得到的商便是分数，可用ab表示。所以分数还可以表示为两个数相除的商，这便是分数的商定义。循着这一定义的发展脉络，我们发现这一定义方式较之份数定义更接近分数的本质，更为抽象也更具有普遍意义。

以上分数的商定义及其来龙去脉过于抽象，万不可在教学中实施。那么是否分数的商定义在小学课堂中便没有立足之地呢？也非尽然。立足于学生的知识结构与认知特点加工教学内容，同样能适合学生接受，正如布鲁纳所说：“任何科目都能够按照某种正确的方式交给任何年龄阶段的任何儿童。”第二学段学完分数后，通常会有这样的教学环节：引导学生认识除法与分数之间的关系。通过教学学生发现：分子相当于被除数，分母相当于除数，分数线相当于除号。显然这种只将两者表达形式建立起联系的认识，无法深入到分数与除法的本质关系，学生也自然无法领略到分数商定义的内涵所在。

小学数学教材编写的螺旋上升的原则有力地说明了小学数学学习应是直观到抽象过程。以这样的原则实施教学，进行知识点的再认识，有利于学生数学抽象思维的发展。在再认识的过程中会促进以往所学的知识点的整合，构建知识网，深化对所学知识的理解。

作者简介：

梁涛，江苏省扬州市，宝应县柳堡镇中心小学。