巧用数形结合 求解取值范围

王建宁

摘 要：数形结合思想是高中数学非常重要的数学思想方法之一，把数与形结合起来进行分析、研究，从而使复杂的数学问题简单化，抽象问题具体化，启发学生思维，使其能够生动而直观地解决数学问题。从函数值域以及函数中参数的取值范围等几个方面探究数形结合在高中数学中的应用。

关键词：数形结合；函数图象；函数单调性；几何直观

数学思维能力是解决数学问题的关键，数形结合思想正是培养数学思维能力，引导学生分析数学问题和解决数学问题的重要基础。使用数形结合的方法，可以使某些抽象的数学问题直观生动，解法简洁方便。“以形助数，以数解形”能够变抽象思维为形象思维，有助于数学问题的解决。在高中数学课堂教学中要不断渗透这种数学思想，培养学生的认知能力，使学生从数和形两个方面认识问题的本质，提升数学素养。

函数是高中数学的重点内容，由于其高度概括性和抽象性使得许多学生在学习函数过程中非常吃力，如果结合图形体现函数直观的形象，不仅能降低学习难度，使学生对函数的认识更加具体直观，还能拓展学生的思维。下面我结合自己在教学实践中遇到的几道例题谈谈数形结合思想在高中数学中的应用。

例1.已知k∈R，若函数f（x）=k（x-2）- +2在区间[0，2]上存在零点，求实数k的取值范围。

分析：高中数学中有许多恒成立问题或存在性问题，涉及参数的取值范围。遇到这类问题的第一印象是该问题涉及零点，有必要考虑函数的单调性，因此要求利用函数的导数来判断函数的单调性，属于常规思维。但是如果换一个角度看这一问题：

由f（x）=k（x-2）- +2=0可得k（x-2）+2=

若函数f（x）在区间[0，2]上存在零点，即直线y=k（x-2）+2与曲线y=- 在区间[0，2]上有公共点。由y= 得（x-1）2+y2=1（y≥0），以及y=k（x-2）+2表示过定点A（2，2）的直线，分别作出y= 与y=k（x-2）+2的图象，如图1所示：

当圆与直线相切时，由圆心（1，0）到直线y=k（x-2）+2的距离 =1得k= （另一条切线的斜率不存在）综合图象可得k∈[ ，+∞）。

这样运用两个图象能直接体现问题的本质，使学生直觀地看到问题的结果，只需稍加计算推导，就能得到确切的答案，解题思路方便而直观。

在高二学习过程中遇到下面这样一道习题：

证明：lnx

学生给出了如下证明：

令f（x）=lnx-x+1（x>0）

f ′（x）= 由f ′（x）>0得01，f（x）在（1，+∞）单调递减.所以x=1是f（x）的极大值点，也是f（x）的最大值点，即

f（x）=lnx-x+1≤f（1）=0

所以lnx

笔者让学生在同一坐标系画出了曲线y=lnx与直线y=x-1的图象（图2），且易求得y=lnx在x=1处的切线方程恰好为y=x-1，使得学生有一个更深刻的认识。

同时提出一个相似的问题：

证明：ex>x+1

学生用同样的方法很快给出了证明并且在上图中画出了曲线y=ex与直线y=x+1的图象，可以看到y=ex在x=0处的切线方程恰好为y=x+1。

在高三后期复习中有遇到这样一道题：

已知函数f（x）=xlnx-ex+1，当x∈[ ，2]时，求函数f（x）的值域。

显然要求f（x）的值域，需判断f（x）的单调性，运用导函数这个工具来解决。

依题意f ′（x）=lnx+1-ex

当x∈[ ，1]时lnx≤0，1-ex<1- <0，f ′（x）<0，

当x∈[1，2]时lnx≤ln2<1，1-ex<1-e<0，f ′（x）<0

所以函数f（x）在区间[ ，2]上是减函数，f（x）的最大值为f（ ）=1- - ln2，f（x）最小值为f（2）=1-e2+2ln2，f（x）的取值范围为[1-e2+2ln2，1- - ln2]。

但是f ′（x）=lnx+1-ex在区间[ ，2]上的取值正负对于学生来讲并不容易判断，并且好多学生又重新求出f ′（x）的导函数，问题变得十分复杂。如果此时关注函数的图象将会是怎样一个情况呢？

f ′（x）=lnx+1-ex=lnx-（ex-1）可看成y=lnx与y=ex-1两函数的差构成的函数，由前面的习题可知曲线y=lnx在直线y=x-1的下方而曲线y=ex-1位于直线y=x的上方。

f ′（x）=lnx+1-ex=lnx-（ex-1）<0恒成立

所以函数f（x）在区间[ ，2]单调递减，最大值f（ ）=1- - ln2最小值f（2）=1-e2+2ln2的值域为[1-e2+2ln2，1- - ln2]。

从上面解题过程可看出加强培养数形结合的意识，做到脑中有图，将图形的性质与数量间的关系联系起来，可方便快捷地判断出函数的单调性，求出函数的值域。

综上所述，运用数形结合方法，其本质就是利用题中的已知条件构造函数，或者题中的已知条件经过适当变形后，构造出有利于求解的图形，然后从这些图形中寻找解题方案，从而把复杂问题简单化，抽象问题具体化，达到化难为易的目的。在高中数学中，许多代数极值问题就潜藏着图形背景，借助于图形的直观性求解是寻求解题思路的一种重要方法，因此教师在平时的教学中要通过数与形的有机结合，把形象思维与抽象思维联系起来，引导学生运用图形给出代数问题的几何直观，促进学生两种思维能力的同步发展，帮助学生多角度、多层次地思考问题。激发学生的学习兴趣，逐渐渗透数形结合的思想方法，培养学生运用数形结合思想解决问题的意识。

编辑 杜元元