农村高中数学教学中化归思想的运用探究

刘晓曦

摘 要：学习数学就是在学习中思考方法，锻炼逻辑思维。在高中最主要的就是学习数学思想，化归思想在众多的数学思想中占有重要地位。化归思想简单来说就是转化，也就是把复杂的难解决的问题转化为简单的易入手的问题，来提高解题效率。在高中数学教学过程中，教师应当注重对学生进行化归思想的培养，加强训练学生使用化归思想，使学生能够掌握并能熟练应用，从而提升数学核心素养。特别在农村高中的数学教学过程中，更要加强对化归思想的认识及运用。

关键词：高中数学；化归思想；逻辑思维

初中数学教学主要教学生知识和方法，而高中数学教学则重视培养学生的思维。大量事实证明，高中数学要比初中数学难得多，而农村地区由于各种限制，如教师教学水平、课外资源、经济能力等，导致农村高中生与城市里的高中生在学习资源选择中存在较大的差距，他们没有足够的学习资源和学习环境，而且高中数学课程知识的综合性更大，这就要求农村高中教师更要注重对学生数学思想的培养。高中数学中处处体现着数学思想，缺乏一定逻辑思维和数学思想的学生在学习时会感到吃力，如果不能跟上，对难题无从下手，长此以往，挫败感与无助感就会严重挫伤学生的积极性，而一旦偏科，会对学生的整体学习水平产生重大的影响。这在农村高中是普遍存在的。这就要求教师要在无形中培养学生的数学思维，如培养学生的转化思想，在初中学习中学生可能初步接触转化思想，高中时期教师则需要具体讲解，通过将难题转化为简单问题，运用转化思想解决实际问题。

一、对化归思想的认识

化归思想简单来说，就是把复杂问题、未知问题通过转化的方法归结到简单的、已知的问题，以便得出结果，化归思想实际上就是利用已有的知识和数学中的数学相互转化的关系将问题不断转化成容易解决的问题。化归思想在数学学习中使用十分广泛，它主要包含四个方面：化繁为简，在已知条件和待解决问题比较复杂时，就可以把它们化成简单的条件和要求；化难为易，是指我们在遇到新的难的问题时，把它们转化为我们熟悉的、比较简单的问题，进而解决问题；化未知为已知，指仔细阅读题干，将隐藏的信息提取，把待解决的问题转化为已知问题；化大为小，指在解决一个综合性问题时，将大的问题分解，通过解决一个个小问题达到解决最终的大问题。化归思想最基本的功能就是将抽象问题转化为具体问题，想要掌握化归思想就需要善于发现问题间的联系，把握它们之间的联系来进行转化。教师在日常教学中需要注意引导学生将所学知识联系起来，形成一个知识体系，发现它们的共通之处，运用化归思想时才能得心应手。根据化归思想的定义与解释，可以发现众多数学学习方法都属于化归思想，如等价转化法、待定系数法、数形结合法、构造法、换元法等。

二、运用化归思想的原则

1.标准化原则

许多数学知识只有具有标准形式才具有特殊意义，教材中的例题也是具有典型意义的，由此来看，一些数学知识只有是标准的才有特殊性质，如椭圆的基本性质PF1+PF2=2a，具有对称性等，只有标准的椭圆才具备。所以教师在教学过程中应注意标准化，教导学生在解题时先确定问题是否是标准形式，如果是，才能进行转化，否之，则应采取其他方法解决问题。

2.熟悉化原则

熟悉化原则是指在解答一个陌生问题时，应先思考其与已学知识的联系，或从积累的与它相关的习题的做题经验入手，而不是一头雾水地盲目尝试，熟悉化原则是运用化归思想的基本方法和原则，也是化归思想的基本内涵。如解一个一元三次方程会比较困难，此时学生联想曾经学的一元一次方程和一元二次方程就会找到解题思路，通过把一元三次方程转化为熟悉的一元二次方程就会大大减少解题步骤。

3.和谐化原则

数学练习中经常会出现题目给的条件不统一的情况，如异名三角函数，在教学时教师就可以引导学生先将其转化为相同的条件，即利用辅助角公式或二倍角公式把异名三角函数转化为同名三角函数，这就体现了化归思想中的和谐化原则。

4.具体化原则

由于数学问题中涉及许多立体化、空间化、抽象化問题，此时单靠想象并不容易解决问题，遇到这种题目的条件比较抽象的、条件之间关系模糊的，首先就应该把抽象的问题转化为具体的、较直观的问题，其中最具代表性的就是函数问题，这类问题通常画出该函数的函数图像，根据它的定义域、值域等性质解答会更直观、容易得多。

三、常见的化归方法

化归方法种类较多，使用比较频繁的主要有换元法、数形结合法、等价转化法等。换元法是指在解答数学问题时，把某个式子当作一个整体，用变量表示，使一个复杂的式子变成只含有这个变量的简单式。运用换元把式子变成有理式或使整式降幂，都能把复杂的函数、方程转化为较简单的问题。如：已知f（x-1）=x2-3x+2，求f（x+1）的解析式，采用换元法，使x-1=t，即可得到x=t+1，则f（t）=（t+1）2-3（t+1）+2，把它的原式化成一元二次函数的标准形式就相对简单一些了。数形结合法也是运用比较多的方法，数与形是数学最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化，使用数形结合法要么根据精确的数来阐明形的性质，要么根据形的直观性来说明数之间的关系。数学家华罗庚曾说过“数形结合百般好，隔裂分家万事非”，数形结合“以形助数”或“以数解形”可以使抽象问题具体化。等价转化法是把原问题转化为一个易解决的等价命题，通过不断转化把复杂的、陌生的、不规范的问题转化为简单的、熟悉的、较规范的问题，如：f（x）是R上的奇函数，f（x+2）=f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x，则f（7.5）等于多少，我们在教学时，就可以引导学生发现周期为2，继而转化得出f（7.5）=f（-0.5）=-f（0.5）。这些方法一旦掌握，在学习中就能省时省力，经常在教学中渗透转化思想，也能提高学生的解题能力和水平。

四、如何运用化归思想

教师在使学生明了化归思想的使用原则和主要的化归方法后，就能尝试着在高中数学基础知识教学中运用化归思想了。由于大多数农村高中学生的基础稍显薄弱，教师在备课时要充分钻研教材，要尽量把数学知识中的化归过程整理出来，这样才能使绝大多数学生理解知识，才能满足课堂教学要求。同时也要注意渗透化归思想时考虑学生的适应程度，学生对知识的掌握不是一蹴而就的，只有经过不断练习才能融会贯通。

以“函数值域”一课的教学为例，由于函数概念比较抽象，在解答函数值域过程中会比较困难，但根据化归思想的简化原则，我们利用几何图形的概念来解决就会相对简单。经过阅读、分析题目后我们可以得出：点（2cosx，4sinx）在轨迹方程的椭圆上，所以我们可以将它转化为椭圆上的点（4，-1）连线的斜率来求值域，即可得出：

解：依题意得，（2cosx，4sinx）在轨迹方程的椭圆上，

因为sin2x+cos2x=1，所以题中所求值域就是椭圆上的点和点（4，-1）连线的斜率。

所以可设切线方程为y+1=k（x-4），将其与椭圆联立，得判别式为0，即4x2+[k（x-4）-1]2=16

（4+k2）x2-8（k2+2k）x+16k2+8k-15=0

Δ=[-8（k2+2k）]2-4（4+k2）（16k2+8k-15）=0

化简得：12k2+8k-15=0，（2k+3）（6k-5）=0

通过将值域转化为斜率，然后就可求出取值范围。这是典型的数形结合问题，初看是函数问题，进行分析后会发现它其实是与椭圆相关的问题，采用数形结合转化后就能把复杂问题简单化。学生在课后积极反思，并加以练习，就能逐渐达到举一反三的效果。

教师在教学时要紧密联系教材，考题都是从教材知识中衍生出来的，所以打好基础是根本性保障。所以，在教学过程中教师要深入挖掘知识间的联系，帮助学生建立全方位的知识体系，如在讲解函数、三角函数、圆、椭圆等问题时教师要积极引导学生探索其中蕴含的待定系数法、配方法、换元法等化归思想。如在讲解：

已知2f（-tanx）+f（tanx）=sin2x，求f（x）时，

sin2x=2sinxcosx=2sinxcosx/（sin2x+cos2x）=2tanx/（tanx2+1）

所以令t=tanx，则2f（-t）+f（t）=2t/（t+1），

这是一个关于f（t）的函数方程，我们也可以根据化归思想的构造法来解决，根据方程特征通过换元构造出一个新的方程，联立方程得出一个二元方程组，然后消元，解出f（x）。运用这些简单的化归思想能够有效提高学生的解题效率，也能促进学生思维的发展。

五、化归思想的作用

1.有利于全面掌握数学知识

在数学学习中，化归思想是运用得比较广泛的，而化归思想的熟练运用是建立在对所学知识有比较系统的理解之上的，学生只有熟练地在所学知识中建立联系，全面了解所学知识，才能灵活使用化归思想。学生掌握化归思想的过程就是对所学知识进行意义建构的过程，学生通过在做题中寻找题目的题眼，思考问题与解决问题所需要的知识之间的联系完成解答。使用化归思想，把遇到的难题进行归纳，可以帮助学生理解知识之间的内在联系，帮助他们建立思维导图、全面掌握数学知识。

2.有利于培养数学思维

高中数学学习目标主要是培养学生的数学思维，而化归思想则是不可或缺的组成部分，運用化归思想需要学生清楚方程与函数间的关系，在解答问题时不被定势思维桎梏，能够在较短的时间内找出简化问题的转化方向。同时在使用化归思想时需要学生不断思考、推理，在这个过程中，可以培养学生思维的灵活性、敏捷性。笛卡儿说过：“数学是使人变聪明的一门科学”，数学思想和方法反映了数学知识与规律间的联系，学习数学思维能够使学生形成良好的知识结构。

3.有利于培养学生解决习题的能力

学生学习化归思想，利用已有知识解决新问题的过程是一个温故而知新的过程，学生在解题时通过转化已有知识攻克新的难点，利用化归思想分析题目的结构和内容，把题目转化为经典的解题模型，最后经过分析和总结，既能巩固旧知识、学习新知识，也能提高他们解决问题的能力。

综上所述，在高中数学课堂中渗透化归思想不仅能为课堂注入新的活力，提高学生的积极性，也能促进学生自主思考、探究问题，培养学生的数学核心素养。对于农村地区的高中学生来说，在课堂中运用化归思想更能帮助他们回顾、建构、重组知识，帮助他们夯实基础，提高他们的学习水平。所以农村地区的高中教师要充分创设情境，鼓励学生触类旁通，合理利用化归思想解决问题，提高学生的学习能力，提升自身的教学水平。

参考文献：

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[3]钟旗堂.浅析高中数学教学中化归思想的渗透[J].高中数学教与学，2017（10）：34-35.

编辑 谢尾合