构造法用于高中数学解题中的有效途径

葛芬萍

摘 要：在高中阶段，数学知识之间联系紧密。对一些难度较大的数学问题，为了提高解题效率，节省答题时间，需要教师和学生总结题目的特点和解题结构，提出适合解题的独特方法。主要通过提出和分析几种典型题型，总结出构造法在高中数学解题中的有效途径。

关键词：构造法；数学解题；解题方法

构造法是一种在高中数学中比较常见的解题方法。所谓构造法，简单来说，就是根据题目中给出的条件或者已知结论带有的一些性质、特点，从而塑造出一种数学模型，目的是将题目中未知的条件“清晰化”，以达到快速明确题意，准确解题的目的。在数学学科的发展过程中，构造法已经在数学解题方法中占有重要的位置，其中，在构造函数、模型、图形、复数、向量等中，构造法是比较常见的。本篇文章将着重对构造函数、构造模型、构造复数、构造图形和构造数列这几种重要题型进行分析和阐述。

一、构造法在函数中的应用

众所周知，函数在数学领域中一直占有十分重要的位置，涉及函数的题型也是千变万化的。其中，当函数与不等式联系在一起时，我们不妨用构造法来解决这类问题。下面，我来举个例子说明。

已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）为函数f（x）的导函数，且满足f（x）<-xf′（x），则不等式f（x+1）>（x-1）f（x2-1）的解集是什么？

解析：f（x）<-xf′（x）∴f（x）+xf′（x）<0，∴xf（x）<0，设g（x）=xf（x），则函g（x）单调递减，f（x+1）>（x-1）f（x2-1）变形为（x+1）f（x+1）>（x2-1）

f（x2-1），所以x+1>0x2-1>0x+1

二、构造法在向量问题中的应用

在高中数学解题过程中，使用较为广泛的知识点就是向量，而应用构造法来进行向量问题解题能够进一步提高解题的效率，尤其是不等式的结构，就可以使用向量的数量积来表示，将原不等式进行合理变形，再给原不等式提供全新的证明方式。

三、构造法在几何图形的应用

在高中数学中，纯粹的代数问题往往比较抽象，让人难以理解题意，这时如果引入几何图形解题是一种经常被采用的办法，在很多的题型中，合理地利用数形结合的方法可以更加直观地去分析问题和解决问题，下面举一个利用构造图形解题的例子：

已知，a>0，b>0，c>0，求证： + ≥ 当且仅当 = + 时取等号。

解：从题目中所给三个根式的结构特点，可以联想到所学的余弦定理，从而可以构造出一个简单的图形，如下图：

作OA=a，OB=b，OC=c，∠AOB=∠BOC=60°。

则可得：∠AOC=120°，AB= ，BC= ，AC=

根据几何基础知识可以得出：AB+BC≥AC

∴ + ≥

四、构造复数法解决实数问题

复数在数学中是实数的一个延伸，一些用实数难以去解决的问题，往往用构造法将其转化为复数问题，虽然复数看起来较实数复杂，但是解题思路会变得清晰明了。

已知0

用构造复数解决这个问题之前，也可以用另一种构造图形的方法解决。

解：首先可以先构造一个单位正方形，设O为正方形内一点，O到AD，AB的距离为a，b，则有|AO|+|BO|+|CO|+

|DO|≥|AC|+|BD|，其中，|AO|的值为 ，|BO|的值为 ，|CO|的值为 ，

|DO|= 。又∵|AC|=|BD|= ∴ + + + ≥2

五、其他常用到构造法的题型

以上是本篇文章主要介绍的几种经常用到构造法解决问题的题型，除此之外还有很多题型需要用到构造法，比如构造向量、构造情境等。

运用向量，很多代数、几何、图形等问题都可以被有效地解决。下面举一个简单的例子。

已知a、b、c是三个正数，求解函数y= + 的最小值。

解得：构造向量 =（x，a）， =（c-x，b），则可以將题中函数转化为：y=| |+| |≥| + |= =

∴可以得出ymin=

还有一些数学问题看起来很容易，但是实际解决时却十分冗杂，此时我们需要合理地运用构造情境的办法，灵活而巧妙地将问题解决。

构造法在数学解题中非常具有特别的解决办法，其需要具有一定的灵活性和技巧性，在解题过程中，使数学题变得生动充满活力，让学生在学习中能快速地掌握解题结构，并且开发他们的创作思维。当然，构造法绝不是随意的胡乱猜测，也不是凭空想象，而是需要学者在一定的数学基础之上，利用所掌握的知识而进行合理的推导和分析，从而快速地得到解决办法。

参考文献：

[1]何忆捷，熊斌.中学数学中构造法解题的思维模式及教育价值[J].数学教育学报，2018（2）：50-53.

[2]陈贤.数学“构造法”运用探索与实践[J].数学大世界（上旬版），2017（8）：8，10.

编辑 谢尾合