初中数学基本图形观念下问题解决的案例分析及教学建议

易秋燕

【摘要】基本图形观念是指学生能够利用基本图形解决问题的意识.本文通过几个案例分析说明树立基本图形观念是培养学生几何直观的重要途径之一，在基本图形观念下将复杂图形分解成基本图形以解决问题，在基本图形观念下合理添加辅助线构造基本图形探索解题思路.最后给出培养基本图形观念的教学建议.

【关键词】基本图形观念;案例分析;教学建议

基本图形观念是指学生能够利用基本图形解决问题的意识.关于基本图形的界定，不像数学概念那样严格清晰，傅佑珊老师认为：“现行中学平面几何教材在概念、定理、公理所对应的图形都称为基本图形.”基本图形来源有两类，一类是现行中学教材中的定义、公理、定理以及推论所对应的图形，另一类是具有一定典型性的例题、习题所对应的图形.

一、树立基本图形观念是培养学生几何直观的重要途径之一

直观想象是普通高中数学课程标准修订专家组提出的普通高中数学学科核心素养之一.“直观想象指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的过程.”直观想象包括：利用图形描述、分析数学问题.直观想象的这部分内容实际上就是初中的几何直观.几何直观是《义务教育数学课程标准（2011版）》提出的十大核心概念之一.“几何直观主要指的是利用图形描述和分析问题.借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果.几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用.”几何直观是直观想象的基础，在初中阶段培养学生的几何直观直接为高中阶段养成直观想象的核心素养奠定基础.几何直观在问题解决中可以帮助学生从复杂图形中分解出简单的、基本的图形，从基本图形中寻找出基本元素及其关系，由此将复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果.基本图形观念是指学生能够利用基本图形解决问题的意识.由此可见，树立基本图形观念是培养学生几何直观的重要途径之一.

（一）在基本图形观念下将复杂图形分解成基本图形以解决问题

案例1 如图1所示，BD垂直平分AC，∠BCD=∠ADF，AF⊥AC.求证：四边形ABDF是平行四边形.

案例分析 本题涉及的基本图形有三线八角基本图形（如图2所示）、线段垂直平分线基本图形（如图3所示）、平行四边形的基本图形（如图4所示）.在基本图形观念下，学生熟知线段垂直平分线的圖形及其中的基本元素及关系，因此，由线段垂直平分线的基本图形易得∠BCD=∠BAD，从而∠BAD=∠ADF，在三线八角基本图形中由∠BAD=∠ADF得到AB平行于FD，再由题设条件AF⊥AC和BD垂直于AC，在三线八角基本图形中得到AF平行于BD，从而证得四边形ABDF是平行四边形.

（二）在基本图形观念下合理添加辅助线构造基本图形探索解题思路

案例分析 本题涉及的基本图形有等边三角形、平行四边形.学生在基本图形观念下，由问题：“AB+CD>AC”可想到三角形的三边关系，由此需要构造一个与AB，CD，AC相关的三角形.由已知条件“AC=BD，∠DOC=60°”可联想到基本图形“等边三角形”，通过平移AC（或者BD）可得到等边三角形BDE，同时得到一个平行四边形ACEB和三角形DCE，如图7所示，将AB，AC转化到CE，DE，从而利用三角形DCE的三边关系得到“AB+CD>AC”.

案例3 （2016年厦门市中考16题）如图9所示，在矩形ABCD中，AD=3，以顶点D为圆心，1为半径作⊙D，过边BC上的一点P作射线PQ与⊙D相切于点Q，且交边AD于点M，连接AP，若AP+PQ=26，∠APB=∠QPC，则∠QPC的大小约为度分.（参考数据：sin11°32′=15，tan36°52′=34）

案例分析 本题涉及的基本图形有矩形ABCD、最短路径问题基本图形（如图10所示）、圆的切线的基本图形（如图11所示），直角三角形（如图12所示，直角边为1，26，斜边为5，以及直角边为3，4，斜边为5）.

解法一 在基本图形观念下，由已知条件AP+PQ=26及图形中分解出的最短路径问题的基本图形，学生就能预测解题思路，如图13所示，将最短路径问题的辅助线添加方法用到本题中来，结合圆的切线的基本图形，作A点关于BC的对称点E，连接PE，BE，则将AP，PQ转化到同一个线段EQ上，而由EQ⊥QD可联想到直角三角形EDQ，结合题中所给参考数据sin11°32′=15，连接ED，构造直角边为1，26，斜边为5，由sin11°32′=15可得∠QED=11°32′，由题中所给另一个参考数据tan36°52′=34提示图中另一个直角边长为3，4，斜边长为5的Rt△EDA，由此可得∠AED=36°52′，得∠AEQ=25°20′，从而∠QPC=64°40′.

在教学过程中可利用思维导图进行引导：

解法二 在基本图形观念下，由所给参考数据sin11°32′=15，tan36°52′=34可联想到边长比例关系为26∶1∶5以及3∶4∶5的两个直角三角形，结合题目已知条件AP+PQ=26可将AP+PQ转化到同一条直线上，于是可延长QP，截取PE=AP，连接ED得到边长比例关系为26∶1∶5的Rt△EDQ和边长比例关系为3∶4∶5的Rt△EDA，可得∠QED=11°32′，∠AED=36°52′，得∠AEQ=25°20′，从而∠QPC=64°40′.

在教学过程中可利用思维导图进行引导：

二、培养基本图形观念的教学建议

（一）加强学生对“基本图形”的学习

1.加强对教材中概念、定理、公理所对应的“基本图形”的学习.熟识基本图形和基本图形的基本元素及其关系所对应的文字语言，符号语言，做到由此及彼.能由基本图形得到它所对应的基本元素及其关系的文字语言信息和符号语言信息，也能由描述基本元素及其关系的文字语言信息和符号语言信息联想其所对应的基本图形.

2.总结教学中常见的例题，习题所对应的基本图形，进行归纳和学习.熟识基本图形和基本图形的相关结论所对应的文字语言、符号语言，做到由此及彼.能由基本图形得到它相关结论的文字语言信息和符号语言信息，也能由描述相关结论的文字语言信息和符号语言信息联想其所对应的基本图形.

1.在日常教学中训练学生利用“基本图形观念”在复杂图形中分离出基本图形.

2.在问题解决中，有意识地让学生利用“基本图形观念”通过添加辅助线构造基本图形，寻找解题思路.

【参考文献】

[1]傅佑珊.平面几何基本图形与解题分析[M].北京：地质出版社，1985.