以“不变”应“万变”

江苏省苏州市阳山实验初级中学九（9）班 许辰宇

【问题背景】已知y关于x的函数表达式y=2kx-3k+2，观察这个函数表达式，你有什么发现？

面对这个问题，一开始或许你毫无头绪，仔细思考后，可能你会有所发现，甚至发现独特之处。

【思考探索】不难发现，这是一个含参数（k）的一次函数解析式。为了研究它的特殊性，我们不妨取一些k值（如表1），并画出它的图像（如图1）。

表1

图1

观察图像，我们可以得知，一次函数y=2kx-3k+2的图像总经过点（，2）。这是什么原因呢？于是，我对原来的表达式进行恒等变形，看看能否找到问题的答案。

由y=2kx-3k+2，可得y=k（2x-3）+2，即y-2=k（2x-3）。

既然原函数表达式y=2kx-3k+2是成立的，那么变形后的表达式也是成立的，而我们知道，k作为一个系数是可以取不为0的任何实数的，要使原式成立，需满足（y-2）和（2x-3）的值分别为0。这就是为什么函数图像总经过点（，2）的本质原因。

结论应用如图2，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y=kx-3k+4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值是多少？

本题是一道有关线段最值的问题。在圆内求线段的最值，需确定线段的两个端点的位置。从这个角度分析，即使我们知道k值，也很难确定点B与点C在平面直角坐标系中的位置。因此，我们要从函数表达式入手，将其进行适当的变形，发现函数图像总过点（3，4），此时可求得圆心O到点（3，4）的距离为5，问题就转化成求过⊙O内一点的最短弦问题。运用垂径定理和勾股定理，求解步骤如下：

解：∵y=kx-3k+4，

∴k（x-3）=y-4，

∵k有无数个取值，由x-3=0、y-4=0，

可得x=3，y=4，

∴直线一定过点D（3，4）。

如图3，根据勾股定理，可求得OD=5。

图3

∵最短的弦BC是过点D且与⊙O垂径垂直的弦，∴连接OC，OC=OA=13，OD=5，在Rt△COD中，可求得CD=12。

∵OD⊥BC，

∴BC=2CD=24。

【解题感悟】在求解有关含参数的函数表达式的问题时，往往需要在变化的参数中找到那个“不变”的点（或量），再运用这些不变的量去破解复杂多变的问题，此所谓以“不变”应“万变”。

教师点评

此文“结论应用”中呈现的题目来源于某次调研试卷，是一道一次函数与圆相结合的综合题，所给一次函数解析式为“含参型”解析式。在讲评此题时，许辰宇同学展示了自己的解法，从“数式”的视角做了详细的分析。对于该题，一部分同学理解并掌握，但仍然有部分同学不太理解，尤其是怎么得到“定点”的。课后他将此题整理成文，从“表格”“图像”“数式”的全方位视角作了精彩分析，让同学们对此类“含参型”一次函数过“定点”的本质有了更深刻的认识。这篇文章从问题提出、问题分析、问题解决和问题反思4个环节展开，结构优美，言之有物，思考深刻，值得借鉴。