原来辅助线还可以这样作

江苏省海安市墩头镇仇湖初级中学九（1）班 余天泽

在前几天的作业中，有这样一道题：如图1，点P是△ABC的边BC上一点，PC=2PB，∠ABC=45°，∠APC=60°，求∠ACB的度数。

图1

图2

在解这道题目的时候，我首先想到作辅助线。考虑到45°和60°是两个特殊角，我就想过点A作AD⊥BC于点D，将45°角和60°角放在直角三角形中，构造一个等腰直角三角形和一个含30°角的直角三角形，然而并没有解决这道问题。我又考虑取特殊值，令BP=1，求得AD=，发现∠ACB的大小根本不是30°、45°、60°，感觉没有任何思路。于是，我又想延长BC，过点A来作AB的垂线，同样将45°角和60°角放在直角三角形中，还是没能解决问题。

第二天上午，我向数学老师请教。老师首先表扬了我，因为我看到45°、60°这些特殊角，能够想到构造直角三角形。然后老师又说，在解决数学问题的时候，当一条路走不通时，要换思路来解决。老师引导我做了一个基本图形，让我明白75°可以拆成30°和45°。有了老师的提示，我仔细想了想，然后过点C作AP的垂线段，∠PCD正好是30°，而∠ACB果真是75°。

图3

解答过程：过点C作CD⊥DP于点D，连接BD。∵∠APC=60°，CD⊥AP，∴CP=2DP，∵PC=2PB，∴DP=PB。∴∠DBP=∠BDP=30°，∴∠ABC=45°，∴∠ABD=15°，∵∠APC=60°，∠ABC=45°，∴∠BAD=15°，∴BD=AD，∵∠DPC+∠DCB=90°，∴∠DBP=∠DCP=30°。∴BD=CD，∴AD=CD，∴∠ACD=45°，∴∠ACB=75°。

通过这道题的解答，我明白了在解答数学题目的时候，如果多次尝试一种方法仍旧不能解决问题，就要及时调整思路。另外，要画出基本图形，学会猜想，猜想之后再验证自己的猜想是否正确。

教师点评

通过本文可以看出小作者平时善于思考和总结规律。当我们遇到问题时，能想到一些基本模型是好事儿，但模型不是万能的，如果头脑中的模型不能解决问题，要马上换种思路来思考。小作者得出的这个小感悟对解决数学问题确实非常有用。