APP下载

一题管窥4545°角的处理思路

2019-05-05谭志平

初中生世界 2019年15期
关键词:圆心角圆周角半轴

谭志平

我们在学习过程中有时会遇到关于45°角的问题,如何解决这类问题?下面,我们通过一道试题来一探究竟。

例题 如图1,在平面直角坐标系中,已知点A(4,0)、B(-6,0),点C是y轴上的一个动点,当∠BCA=45°时,求点C的坐标。

图1

【解析】由于本题没有交代点C在y轴正半轴还是负半轴,因此这道题目中点C的位置需要分两种情况讨论。这两个位置正好关于x轴对称,因此我们只需讨论点C在y轴正半轴的情况,然后由对称性求出点C在y轴负半轴的情况。

(方法一)如图2,以45°角为基础,构造等腰直角三角形,由△BCF与△BDE全等,设法求出OC的长。

解:如图2,过点B作BD⊥BC,交CA的延长线于点D,过点B作x轴的垂线,分别过点C、点D作x轴的平行线,分别交过B点的x轴的垂线于点F、点E。

图2

∴∠CBD=90°,∠E=∠F=90°,

∴∠CBF+∠DBE=90°,∠DBE+∠BDE=90°。

∴∠CBF=∠BDE,

目前,随着教育国际化进程加快,在教育领域与国际合作的机会逐步增加。可成立专门的国家合作交流的协会和机构,通过这些机构,推动与国外经验交流与合作。这有利于我国成人教育走向国际,把成人教育建立成一个面向社会、面向国际、面向未来的开放的教育体系。

∵∠BCD=45°,

∴△BCD是等腰直角三角形,

∴BC=BD,∴△BCF≌△DBE。

设OC=m,则BF=DE=m,

∵A(4,0),B(-6,0),

∴OB=CF=BE=6,∴DG=m-6。

∵OA∥DG,∴△AOC∽△DGC,

∴C点坐标为(0,12)。

由对称性可知,当点C在y轴负半轴时,点C的坐标为(0,-12)。

(方法二)如图3,再过点D作DH⊥x轴于点H,其实这一思路与前一思路类似,因为△BOC与△CFB全等,△BDE与△DBH全等,所以△BOC与△DHB全等。求m值的时候,可利用△AOC与△ADH相似来解决。

图3

(方法三)如图4,构造等腰直角三角形,还可以过点B作BK⊥AC于点K。

图4

解:过点B作BK⊥AC于点K,设OC=m,则△BCK为等腰直角三角形。

在Rt△BOC中,同理:AC= m2+16。∵△AOC∽△AKB,

(方法四)过点A作BC的垂线,解题思路同方法三。

(方法五)利用同弧所对的圆心角是圆周角的2倍,将45°角转化为90°角来解决问题。

解:如图5,设△ABC的外接圆圆心为M,∵∠ACB=45°,∴∠AMB=90°,且MA=MB。

图5

∴△AMB为等腰直角三角形,∵AB=10,∴MA=MB=52 ,M(-1,5)。,解得m=12。

解:设∠BCO=α,∠ACO=β,OC=m,则tanα=

【点评】从以上解法可以看出,遇到45°角,有两种常用处理思路:

一是设法作垂线段,将45°角置于直角三角形中,构造等腰直角三角形。若是遇到斜着放的直角,可以考虑构造“K型”相似来解决。

二是利用同弧所对的圆心角是圆周角的2倍,将45°角转化为直角。运用两角和的正切公式非常简便,但由于这个公式是高中的内容,在这里使用属于超纲,如果使用,请务必将公式写清楚。

猜你喜欢

圆心角圆周角半轴
一种橡胶扭力半轴组件
圆周角和圆心角关系演示教具
各种各样的扇形
探明究竟,大道至简
——对2018年广州市一道中考题的研究
运用圆周角定理求角的大小“五结合”
圆周角平分线长度的一般性结论
基于圆周角的力学问题
汽车半轴自动化技术取得新突破
求圆周角常见错误分析
“圆心角”度数:弧长计算的关键点