巧用等腰（边）三角形证全等

苏中年

证明三角形全等需要相等的边和相等的角。等腰三角形有两条边和两个角相等，等边三角形的3条边和3个角都相等，这些都为证明两个三角形全等提供了可能。

一、一条重要的线段——“三线合一”

例1 如图1，在Rt△ABC中，AB=AC，∠A=90°，点D为BC上任意一点，DF⊥AB于点F，DE⊥AC于点E，M为BC的中点，试判断△MEF是什么三角形，并证明你的结论。

图1

【解析】由于AB=AC，M是BC的中点，可联想到“三线合一”定理，考虑连接AM，则可证明△BFM≌△AEM，然后证明MF=ME和∠EMF=90°，即可证明△MEF为等腰直角三角形。

证明：连接AM。

∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠B=45°。

∵M为BC的中点，

∴△AMB为等腰直角三角形，

∴MA=MB，

∵DF⊥AB，∠B=45°，

∴DF=BF。

∵∠BAC=90°，DF⊥AB，DE⊥AC，∴DF∥AC，DE∥AB，

在△AEF和△DFE中：

∴△AEF≌△DFE。

∴DF=AE，

在△BFM和△AEM中：

∴△BFM≌△AEM，

∴ME=MF，∠BMF=∠AME。

∵∠BMF+∠AMF=90°，

∴∠AME+∠AMF=90°，

∴∠EMF=90°。

∴△MEF是等腰直角三角形。

【点评】等腰三角形“三线合一”的性质既涉及角相等，又涉及线段相等或垂直，为证明线段和角的关系提供了又一个理论根据。同时，同学们还应熟练掌握“三线合一”性质的转化。

二、在等腰三角形中找条件

例2 如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC的中点，CE⊥AD，垂足为E，BF∥AC，交CE的延长线于点F。求证：DB=BF。

图2

【解析】要证明DB=BF，由于D为BC的中点，所以CD=BD，因此本题可转证CD=BF，将这两条线段放置到三角形中，可证明△ACD≌△CBF。

证明：∵BF∥AC，

∴∠CBF+∠ACB=180°。

∵∠ACB=90°，

∴∠CBF=∠ACB=90°，

∴∠ACE+∠DCE=90°。

∵CE⊥AD，

∴∠CAD+∠ACE=90°，

∴∠CAD=∠DCE=∠BCF。

∴△ACD≌△CBF，

∴CD=BF。

∵D为BC的中点，

∴CD=BD，

∴DB=BF。

【点评】本题证明△ACD≌△CBF需要的3个要素都和△ABC是等腰直角三角形相关。在证明过程中，当图形中出现等边三角形、等腰三角形、正方形、菱形等内容时，往往隐含着一对全等三角形，这对全等三角形的一对应边往往和等边三角形、等腰三角形、正方形、菱形的边长相等相关。

三、既是角平分线又是垂线，补成等腰三角形

例3 如图3，已知在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，BD平分∠ABC，且AE垂直BD的延长线于E点。求证：BD=2AE。

图3

【解析】由于BE既是角平分线，又垂直于AE，所以很容易由“三线合一”联想到延长AE与BC，构造等腰三角形，再结合等腰三角形的性质和全等，证明BD和AE的关系。

证明：延长AE、BC，交于点F。

∵BE平分∠ABF，AE⊥BE，

∴△ABF是等腰三角形，∴AF=2AE。

∵AE⊥BE，

∴∠F+∠DBC=90°。

∵∠ACB=90°，

∴∠CDB+∠DBC=90°，

∴∠F=∠CDB。

∴△FAC≌△DBC（AAS），

∴AF=BD，

∴BD=2AE。

【点评】当一条线段具备以下3个条件中的两个条件时，可考虑构造等腰三角形，运用“三线合一”定理解决问题：（1）平分一个角；（2）垂直一条边；（3）平分一条线段。

四、等边三角形中的全等

例4 如图4，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，DC=AE，AD、BE交于点F，求∠BFD的度数。

图4

【解析】由于∠BFD=∠ABE+∠BAD，可通过证明△ABE≌△CAD，将∠ABE+∠BAD转化为∠CAD+∠BAD，即∠BAC。

解：∵△ABC为等边三角形，

∴AB=AC，∠BAE=∠C=60°。

∴△ABE≌△CAD。

∴∠CAD=∠ABE。

∴∠ABE+∠BAD=∠BAD+∠CAD=60°。

∴∠BFD=60°。

例5 如图5，△ABD、△AEC都是等边三角形，BE、CD相交于O。

（1）求证：BE=DC。

（2）求∠BOC的度数。

图5

【解析】（1）BE和DC可分别置于△ACD、△AEB中，通过证明△ACD≌△AEB，来证得BE=DC。证明△ACD≌△AEB需要的条件可从等边三角形中获得。（2）根据外角的性质可知∠BOC=∠BDO+∠DBO，可将求的角转化为求∠BDO+∠DBO。

证明：（1）∵△ABD、△AEC都是等边三角形，

∴AB=AD，AC=AE，∠ADB=∠ABD=∠BAD=∠CAE=60°。

∴∠DAC=∠BAE。

∴△ACD≌△AEB。

∴BE=DC。

（2）∵△ACD≌△AEB，

∴∠ADC=∠ABE。

∴∠BDO+∠DBO=∠ADB+∠ABD=120°。

∴∠BOC=∠BDO+∠DBO=120°。

【点评】等边三角形3条边相等、3个角相等，是判定三角形全等的条件，因此当图形中出现两个等边三角形时，一般会出现全等三角形。