找共性，巧解三角形相似问题

刘怀富

【摘 要】初中数学中三角形相似知识是一个教学重点，同时也是一个学生学习的难点，如何帮助学生轻松掌握这个知识点是教学中的一个难题。本文从近几年的期末考试题中找出解决这类题型的共性，可以帮助学生找到解决这类三角形相似问题的基本思路。

【关键词】初中数学；教学；找共性；巧解题

【中图分类号】G632 【文献标识码】A

【文章编号】2095-3089（2019）07-0277-02

三角形相似是初中数学的一个重要知识，同时也是一个难点知识。纵观近几年宜宾市九年级上册期末考试和中考，都会涉及三角形相似的相关知识，并且会出现在选择、填空的最后一题或最后的压轴题中，学生望而生畏。我做了近几年的九上期末和中考试题，发现命题者在这个知识点上的出题有两大共性，现总结如下，如有不当之处，望得到各位同行的批评指正。

一、巧找两角分别相等，判“母子”型三角形相似

（所谓为“母子”型三角形，即指小三角形包含于大三角形中，他们有一组公共角、有一组公共边。）

例1：（2016秋，九上末第21題）已知AB∥CD，AD、BC相交于点E，点F在ED上，且∠CBF=∠D.

（1）求证：FB2=FE·FA；

分析：要证等积式FB2=FE·FA，因为

线段FB、FE、FA在△FBE和△FAB中，

只要证△FBE∽△FAB即可。

这两个三角形是标准的“母子”型。

证明： ∵AB∥CD，（已知）

∴∠A=∠D.（两直线平行，内错角相等）

又∵∠CBF=∠D，（已知）

∴∠A=∠CBF（等量代换）

∵∠BFE=∠AFB（公共角）

∴△FBE∽△FAB（两角分别相等的两个三角形相似）

∴FBFA=FEFB（相似三角形的对应边成比例）

∴FB2=FE·FA （比例的基本性质）

例2：（2014秋，九上末第22题）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AC与BD交于点E，∠ADB=∠ACB.

（1）求证：△ABE∽△ACB；

分析：△ABE与△ACB已有一组公共角，

要证他们相似，只需再找一组角相等即可。

这两个三角形是标准的“母子”型。

证明：∵AB=AD，（已知）

∴∠ADB=∠ABD.（等边对等角）

又∵∠ADB=∠ACB，（已知）

∴∠ABD=∠ACB（等量代换）

即：∠ABE=∠ACB

∵∠BAE=∠CAB（公共角）

∴△ABE∽△ACB（两角分别相等的两个三角形相似）

二、利用“三角形的一个外角，等于与它不相邻的两个内角和。”巧找角相等，判“等角对顶”型三角形相似

（所谓“等角对顶”型三角形，即指这两个三角形有一组角对应相等且有一公共顶点，但两三角形相对，无包含关系。）

例1：（2017秋，九上末第16题）如图，把等边△ABC沿DE翻折，使点A落在BC上的F处，给出以下结论：

①∠BDF=∠EFC；

②BD·CE=BF·CF；

其中正确的结论有.（填序号）

分析：因为△ABC是等边三角形，由题意可得

∠A=∠DFE=∠B=∠C=60°，

又由三角形外角定理得∠DFC=∠DFE+∠EFC=∠B+∠BDF

所以易得∠BDF=∠EFC和△BDF∽△CFG，从而让问题得以解决。

这两个三角形是标准的“等角对顶”型。

解：①∵△ABC是等边三角形（已知）

∴∠A=∠DFE=∠B=∠C=60°

又∵∠DFC=∠DFE+∠EFC=∠B+∠BDF（三角形的一个外角，等于与它不相邻的两个内角和）

∴∠BDF=∠EFC（等式的性质）

∴①正确。

②由①得∠BDF=∠EFC，∠B=∠C=60°

∴△BDF∽△CFE（两角分别相等的两个三角形相似）

∴BDCF=BFCE（相似三角形的对应边成比例）

∴BD·CE=BF·CF（比例的基本性质）

∴②正确。

∴①、②正确

例2：（2015秋，九上末第24题）如图，在△ABC中，已知AB=AC=10，BC=16， 点P在线段BC上运动（P不与B，C重合），连接AP，做∠APM=∠B，PM交AC于点M .

（1）求证：△ABP∽△PCM；

分析：这两个三角形是标准的“等角对顶”型。

证明：∵AB=AC=10，（已知）

∴∠B=∠C（等边对等角）

又∵∠APM=∠B（已知）

∠APC=∠APM+∠MPC=∠B+∠BAP

（三角形的一个外角，等于与它不相邻的两个内角和）

∴∠MPC=∠BAP（等式的性质）

∴△ABP∽△PCM（两角分别相等的两个三角形相似）

例3：（2014秋，九上末第16题）如图，在△ABC中，AB=AC=5，点D是边BC上一动点（不与B，C重合），∠ADB=∠B=α，DE交AC于点E，且sinα=35.下列结论：

①△ADE∽△ACD；

②当BD=2时，△ABD与△DCE全等；

其中正确的结论是.

（把你认为正确结论的序号都填上）

分析：①小题中两个三角形属于标准的“母子”型。②小题中两个三角形属于标准的“等角对顶”型。

解：①如图，∵AB=AC=5（已知）

∴∠B=∠C（等边对等角）

又∵∠ADE=∠B=α（已知）

∴∠ADE=∠C=α（等量代换）

又∵∠DAE=∠CAD （公共角）

∴△ADE∽△ACD（两角分别相等的两个三角形相似）

∴①正确。

②如图，作AM⊥BC于点M，

∵AB=AC=5（已知）

∴∠B=∠C（等边对等角）

又∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD（三角形的一个外角，等于与它不相邻的两个内角和）

∠ADE=∠B=α（已知）

∴∠EDC=∠BAD（等式的性质）

∴△ABD∽△DCE（两角分别相等的两个三角形相似）

在Rt△ABM中，∵AB=AC=5，∠ADE=∠B=α，

且sinα=35（已知）

∴sin B=AMAB=sinα=35

∴AM=3

由勾股定理可得BM=4

∴BC=2BM=8（等腰三角形“三线合一”）

当BD=2时，DC=6，而AB=AC=5

∴AB≠DC

∴△ABD与△DCE不全等。

∴②不正确。

通过以上各题的对比，证三角形相似我们只要先看它属于哪种类型，然后对号入座，找到解题的突破口，便会起收到事半功倍的效果。但愿我的拙劣办提法对学生有所帮助。

参考文献

[1]叶立军.《初等数学研究》中第8章初等几何变换8.3 位似和相似变换.