浅谈小学、中学、大学教材中最大公因数的两种定义对研究的影响

吴林隽

【摘要】很多高中生在读小学时都学过公因数、最大公因数（或称公约数、最大公约数）的定义，学生一直到高中毕业时，头脑中对最大公因数的概念还停留在“公因数中最大的一个”这个根深蒂固的印象上.这对高中生毕业后进入大学再次学习最大公因数的定义是不利的，为此，笔者举出一些现行的小學、中学、大学本科教材中对最大公因数的定义，并尝试从不同的定义对一些比较重要的最大公因数的性质进行研究.

【关键词】公因数;最大公因数;整除;定义;性质

很多高中生在读小学时都学过公因数、最大公因数（或称公约数、最大公约数）的定义，现行的北师大版小学五年级上册数学教材[1]第77页是这么定义公因数、最大公因数的：“12和18相同的因数是它们的公因数，其中最大的一个是它们的最大公因数.”第31页还规定了小学阶段的研究范围：“我们只在自然数（零除外）范围内研究倍数和因数.”学生一直到高中毕业时，头脑中对最大公因数的概念还停留在“公因数中最大的一个”这个根深蒂固的印象上.这对高中生毕业后进入大学再次学习最大公因数的定义是不利的，为此，笔者举出一些现行的大学本科教材中对最大公因数的定义.

三、对定义1和定义2的研究过程小结

我们由上面两种定义的研究过程可以看到：

1.不管是哪种定义，对性质2和性质3这两个“很自然的结论”的证明，都可以跳过形如t1a1+t2a2+…tnan的构造方法，但是形如t1a1+t2a2+…tnan的构造方法，确实让我们的研究前进了一大步，是一个很妙的方法和结论.

2.定义1和定义2看上去都是很自然的定义，但是定义1给我们的感觉（特别是中小学生）更像是一个定义，而定义2给我们的感觉（特别是中小学生）更像是最大公因数的一个结论（虽然它看上去很自然、很“显然”）.我们可以证明最大公因数的这两种定义是相互等价的，大学教材如果在编写时能够说明这一点就更好了.

3.最小公倍数的定义，我们可以类似地在小学、中学、大学教材中找到两种不同的定义方法，同样可以根据两种不同的定义方法，进行不同的研究（与此文中最大公因数的研究方法类似，但是最小公倍数的不少性质可能用算数基本定理会更加容易证明和理解）.

【参考文献】

[1]刘坚，孔企平，张丹，位惠女，陶文中.义务教育教科书·数学·五年级（上册）[M].北京：北京师范大学出版社，2014.

[2]张禾瑞，郝鈵新.高等代数：第5版[M].北京：高等教育出版社，2007.

[3]闵嗣鹤，严士健.初等数论：第3版[M].北京：高等教育出版社，2003.

[4]李迅，陈德燕.高中奥数专题讲座[M].上海：华东师范大学出版社，2017.