例谈高中数学解题中构造法的应用

刘强

【摘要】随着我国教育事业的快速发展，传统高中数学解题方法已经无法满足新时代的发展需求.因此，教师应当积极为学生拓展新的解题途径，引导学生更加高效准确地创新解题思路，从而实现数学高效课堂的构建.构造法在高中数学解题中的应用，可以有效增强学生的解题信心，让学生的思维能力更加准确敏捷.笔者结合一些常见的问题，对高中数学解题中构造法的应用措施进行探讨，提出了一些有益的参考建议.

【关键词】高中数学;解题思维;构造法

高中数学是我国基础教育阶段的重要学科，其理论知识特点具有严谨的逻辑性以及高度抽象性.如果学生利用常规思维方式解答问题，经常出现难以正确求解的情况.常规解题方法是学生依据解答问题的已知条件，做出定向结论的思考过程，而随着高中数学课程的深入，常规思考方式已经无法应对题目难度增长的变化.因此，教师应当及时指导学生转变解题思维，通过应用问题构造法来降低解题难度，利用直观的图形使抽象的问题形象化，进而有效提高学生对问题的解答效率.

一、依据已知条件构造相关函数

应用构造法解答问题是学生依据问题中存在的已知结论和已知条件，通过问题类型特有的性质来构造对应已知条件的数学模型，让问题的表现形式更加直观，从而有效降低思考和解答的难度.可见，高中生应用构造法解答难题，可以清晰地梳理出问题的解题思路.比如，在学习“解不等式”的知识内容时，学生通常都会运用传统的解题思维直接进行解答问题，但采用直接法解答不等式会让整个解题过程非常复杂烦琐，解答过程也极易出现失误.所以，大多数学生在解题时都会因为复杂的过程，表现得非常烦躁从而导致解题错误概率激增.而教师应用构造法来讲解问题，学生解题的正确概率就会呈现明显的上升趋势.主要是因为，“不等式”类型问题都是以函数单调性为基础来建立.所以，学生解题时可以直接除去不等式的成立，依据已知条件构造函数来证明函数的单调性，然后在通过图形论证结论准确性.在解“不等式”的过程中，应用构造法不仅具有较强的灵活性和技巧性，还能使解题过程简单明了.但学生要熟练掌握构造对应的函数也需要付出一定的努力，因为不等式右边在正常情况下应当为1，必须最简便才能通过图形来判断不等式的成立.

比如，已知x，y，z均属于区间（0，1），求证：x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）<1，这是三个变元不等式证明题，如果采用直接证明法就会导致解到一半无法继续，如果采取构造法解决问题.证明：先构造一个函数：f（x）=（y-z-1）x+（yz-y-z+1）.然后针对这一函数进行分析，给出以下证明过程：

因为y，z∈（0，1），

所以f（0）=yz-y-z+1=（1-y）（1-z）>0恒成立，

f（1）=（y+z-1）+（yz-y-z+1）=yz>0也恒成立，

而f（x）是单调递增一次函数，它所得的图像就是一条直线.所以f（x）>0恒成立，不等式恒成立，得出结论x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）<1.

二、依据等量关系构造方程式

学生在解答相对复杂的数学题目时，自变量与因变量的理论概念是学生一定会用到的，所以，学生在解答过程中首先要设计解题思路的整体框架.不论解答的问题是二元二次元方程还是一元二次方程，都以解决问题的未知量为目的.因此，当学生在解答关于定量关系的题目时，可以依据等量关系来构造方程式解答题目.比如，在学生在学习“一元二次方程”的知识内容时，题目的内容为：超市内一瓶酒的进价为50元，如果超市依据50元的单价卖出400瓶酒，每瓶酒涨价1元，酒水的销售量就会减少10瓶，问酒的价格为多少利润最大？当学生遇到这种类型的题目时，如果只以传统的解题思维方式很难解答.所以，需要商品需要借助变量，在解题时将利润设置为W，增长的金额为x元，根据题目描述可以得到以下方程式：W=（50+x）（400-10x）-50（400-10x）=x（400-10x）=-10x2+400x.然后对方程的对称轴求解，进而得出利润最大值时的取值x.

三、按照题目要求构造平面图形

高中生在解答关于代数的问题时，普遍习惯从代数的角度来思考问题，造成解题过程非常复杂，局限性较大，很难发现解答问题的突破口.因此，学生要转变解题思维，通过数形结合的方法来构建数学模型，从而有效降低解题的难度.在实施数形结合的方法时，学生要在思维构造平面图形，依据题目构建对应的数学模型，然后在图形上进行解题，这样就会让问题直观易懂，可以比较容易地将解题思路梳理清晰，使学生在解答问题的过程中可以快速发现问题的突破点，从而真正提高解答问题的效率.比如，学生在解答关于不等式的相关题目时，学生既可以应用构造函数的方法降低难度，也可以通过构造图形的方法提高问题的直观性，提高解题的效率.教师在讲述这类题目的解题方法过程時，不易讲解清楚，但学生在应用过程中却可以非常直观的标明不等式的正确性，并快速解答出问题的正确答案.在解答问题过程中学生可以构造出三边相等，长度为1的等边三角形△ABC，D，E，F分别为AB，BC，AC边上的3点，设BD长度为x，CE长度为y，CE长度为z，再利用三角形面积公式S=底×高÷2得到各个三角形的面积求得各三角形的形状，然后两两相加，比较出不等式的答案.由此可见，学生通过应用构造法可以有效打破常规的解题方式，为学生的解题思路拓展出崭新的有效途径，更便于学生精巧、便捷地解答，以达训练解题能力的目的.

四、结 语

综上所述，高中阶段的数学题目的解答难度逐渐加大，学生在传统的解题思维模式下，很难高效准确地计算出正确答案.因此，教师应当指导学生掌握新的解题思路，让学生懂得从多个角度去思考问题，通过思维能力的创新，有效降低解题的难度，在解题中依据已知条件与结论特性，构造数学结构形式，利用已知条件构造相关函数，根据等量关系构造方程式的应用来解决抽象问题，使各知识体系相互穿插借鉴，从而有效提高问题的解答效率.