建立数学模型，轻松解决初中数学实际问题

蔡振华

[摘  要] 数学模型在初中数学的学习过程中，不仅是一种模型，更是一种思想，对于学生而言，它不仅是一种数学方法，更是一种数学素养，所以学生应熟悉数学模型的建立与应用，深刻感悟模型建立与应用的一般步骤.

[关键词] 数学模型;实际问题;数学教学

数学模型是连接数学知识与实际应用的桥梁，随着时代的发展与教育改革的不断深入，如今的数学教学更加重视与生活的联系及学生应用能力的发展，实际问题在数学问题中的比重逐渐增大已成为一种趋势. 在实际问题的解决中，建立数学模型，发现实际问题中隐含的数学知识是解决数学问题的关键. 建立数学模型的基本思路就是根据实际问题抽象出数学问题，建立数学模型，用数学逻辑和数学方法来求解模型，再根据结果确定实际问题的解. 下文笔者结合实例，简要谈谈初中数学中常见模型思想的种类及建立数学模型解决实际问题的方法，供各位参考.

方程（组）模型

方程（组）模型是应用题中最为常见的模型，即我们常说的“列方程解应用题”. 建立方程（组）模型的一般思路是：分析已知量、未知量，将实际问题抽象成数学问题→找出等量关系→构建方程（组）模型→求出方程（组）的解→确定实际问题的解.

例1  学校组织学生去春游，公园里共有大小两种规格的游船48艘，共可容纳520人，其中小船每艘可坐8人，大船每艘可坐12人，问大船和小船各有多少艘？

第一步：分析已知条件和未知数的个数.

由已知条件可知，题中设计了两个未知量，共有两个等量关系.

第二步：设未知数，找等量关系.

设大船共x艘，小船y艘. 等量关系为：①大船的数量+小船的数量=48，②大船可容纳的总人数+小船可容纳的总人数=520.

第三步：列方程、解方程.

列出方程x+y=48，

12x+8y=520， 解得x=34，

y=14.

第四步：确定实际问题的解.

大船34艘，小船14艘.

在初中数学阶段，常见的方程（组）模型有：“人员调配”“增长率”“销售利润”“工程问题”“行程问题”等，在解题过程中，找准等量关系，正确构建方程（组）模型是解決问题的关键.

不等式（组）模型

在实际问题中，应用较为广泛的另一种模型便是不等式（组）模型. 在不等关系中，可以构建“不等式（组）”模型，其基本步骤和构建方程（组）模型相似，即审题，分析已知和未知→找不等关系→设未知数→建立不等式模型→解不等式→根据实际问题写出答案.

例2  学期末，为了奖励进步显著的20名学生，李老师让班长用不超过200元的班费购买20份奖品，小明到了文具店后发现笔记本5元一本，笔袋16元一个，班长想尽可能多购买笔袋，你觉得他最多能买几个笔袋呢？

第一步：分析题中的已知条件和未知量.

已知条件：奖品总数20，总价不超过200;未知量：笔记本的数量、笔袋的数量.

第二步：找出不等关系.

笔记本的价钱+笔袋的价钱≤200.

第三步：列不等式、解不等式.

设购买x个笔袋，5（20-x）+16x≤200，解得x≤.

第四步：确定实际问题的解.

因为x为正整数，所以最大值为9，即最多买9个笔袋.

常见的不等式（组）模型有“最佳购买方案问题”“最省资金调配问题”等，找准不等关系确立不等式是主要任务，读透题目、找到题中的关键词是找不等关系的突破口.

概率模型

概率模型是最贴近生活的模型，概率通俗来说就是事件发生的可能性，它充盈在生活的每一个角落，“明天下雨的可能性有多大”“抛掷一枚一元硬币，正面朝上的概率有多大”“买一瓶绿茶，喝到‘再来一瓶的可能性有多大”等. 建立概率模型，用数学语言刻画上述事件发生的可能性，会使其更加具有说服力. 其基本方法是将实际问题抽象成为数学问题→建立概率模型→用概率描述事件发生的可能性大小.

例3  如图1，某商场为了吸引顾客，设立了可以自由转动的转盘，并规定：顾客每购买200元的商品就能获得一次转转盘的机会. 转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得200元、100元、50元的购物券，如果对准其余区域则无法获得购物券. 如果顾客不愿意转转盘，可以选择直接获得30元购物券. 你认为转转盘和直接获得购物券哪种方式对顾客更合算？

将此问题抽象成为数学问题即为：选择转转盘的顾客平均获得的购物券价值和直接获得的30元哪个更大？

建立概率模型讨论：P（指针指在红色区域）=，P（指针指在黄色区域）=，P（指针指在绿色区域）=. 所以客户转动转盘平均能获得的优惠券价值为：200×+100×+50×=40（元），大于直接获得30元优惠券. 因此转动转盘对顾客来说更合算.

常见的概率模型有“彩票获奖概率”“比赛的公平性”等，还有一些古典概型. 看清问题的本质，准确建立概率模型，是用概率的大小描述事件可能性的中心环节[1].

函数模型

函数是整个初中数学的重点内容，用函数模型解决实际问题是函数学习内容中的重点，以二次函数的模型最为常见. 其基本思路是：发现函数关系→建立函数模型→求解函数模型→确定实际问题的解.

例4  小梅在数学学科社会实践中对某商场某种进价为30元的商品售价与销量进行了为期3个月（按90天来计）的跟踪调查，最后整理成了表1.

[时间 （天） 1≤x<50 50≤x<90 售价（元/件） x+40 90 每天销量（件） 200-2x ][表1]

（1）你能根据表格推算出哪一天的销售利润最大吗？最大利润是多少？

（2）已知销售员在销售这种商品时，只有当每天利润不低于4800元时才能得到奖金. 请你计算一下这3个月中销售员可以获得奖金的天数.

第一步：发现函数模型.

该种商品每天的利润为时间x的函数.

第二步：建立函数模型.

设每天的利润为y，则当1≤x<50时，y=（200-2x）（x+40-30）=-2x2+180x+2000，当50≤x<90时，y=（200-2x）（90-30）=-120x+12000. 可见y是关于x的分段函数.

第三步：求解问题.

（1）当1≤x<50时，函数为y=-2x2+180x+2000=-2（x-45）2+6050，是开口向下的二次函数，所以当x=45时，y=6050. 当50≤x<90时，y随x的增大而减小，所以当x=50时，y=6000. 综上所述，该商品在第45天时利润最大，最大为6050元.

（2）根据函数图像，当20≤x≤60时，函数值大于4800，所以共41天可以拿到奖金.

在实际问题中，“用料最省”“成本最低”“利润最大”等关键词都是函数模型的“提示语”，我们要用发现的眼光看待这些问题，准确建立函数模型.

几何模型

说到几何模型，我们最先想到的可能是全等、相似、面积及“半角模型”“一线三等角模型”等常见的几何模型，这些均是较为明显的模型，直接存在于几何图形中，在此不再赘述. 细心观察，在实际问题中也存在着“隐性”的几何模型，如“双循环赛”“单循环赛”常常使学生们混淆不清，如果换一种角度思考，将代数转化为几何，问题将迎刃而解[2].

例5  校篮球赛，学校共有8支球队参赛，如果采用单循环制，需要比赛几场？如果是双循环制呢？

将此问题中的8支球队看成是平面中的8个点（其中任何三个点都不在同一条直线上），用两点之间的连线刻画“每两个队之间的比赛”，可以发现，从一个点出发可以作7条线段，即每个球队要比赛7场，总场数即为7×8=56场，单循环赛即每两点之间的线段只需算一次，所以总场次为×（7×8）=28.

常见的用几何模型来解决的代数问题除了循环赛问题还有送礼问题、握手拥抱等. 建立几何模型能让抽象的问题变得直观，让深奥的问题更易于理解. 是“数形结合”思想的重要体现.

在初中数学中，模型思想是重要的数学思想之一，数学教学中，滲透模型思想有利于学生更好地体悟数学与生活的联系，也能增强学生用数学知识解决实际问题的能力，对学生数学素养的发展有着积极的作用. 而在渗透模型思想的教学中，教师的关注点应放在如何引导学生发现问题中的模型和建立模型上，让其能正确建立模型，轻松解决数学问题. 学生会在应用中提升数学思想的感悟度、理解度、应用度，从而在实实在在地训练与实践，全面提升数学的学科素养，提升学生自我的核心素养，促进学生在学习与生活上的可持续发展.

参考文献：

[1]钱德春. 试题编制，一门遗憾的艺术——2014年泰州中考数学第25题的分析与反思[J].  中学数学杂志，2014（8）：50-52.

[2]王美兰. 如何编制初中数学开放性试题[J]. 中学数学，2012（14）：92-93.