数学实验融入数学思考的案例研究

周华

[摘  要] 数学地思考问题、解决问题这一思维活动的形式应该与数学操作相融合，只有这样，学生的感性经验才能在数学思维的活动中顺利上升为理性认识，教师应能抓住契机并为学生创造数学思考的机会，以达成数学实验与数学形式的和谐统一.

[关键词] 数学思考;基本事实;数学实验;几何直观;三角形全等

教师在三角形全等这一内容的教学中一般都会设计一些数学实验并引导学生进行思索与质疑，本文结合具体的案例对判定三角形全等方法中的一些问题展开了思考和研究.

三个基本事实验证方面的思考

教材在基本事实的呈现中一般都会安排以下实践活动：“请大家用量角器、刻度尺画出三角形ABC，使其满足AB=70 mm，∠A=60°，∠B=80°. 作出满足条件的三角形后将其剪下并将之与同桌的三角形叠放于一起，大家看看这两个三角形是否相互重合？”

教师在此活动设计中往往会让学生根据要求作三角形、剪三角形、叠放三角形并验证基本事实ASA对于特殊情况的正确性.

笔者在学生的这一活动中经常会观察到如下现象：

现象1：学生在验证中发现两个三角形无法重合. 教师往往给出作图有误差的解释，但学生对为什么一定要验证这两个三角形重合心存疑惑.

现象2：学生复制后剪出两个全等三角形并因此令验证失去了应有的意义.

笔者曾经询问过学生不按照教师要求活动的原因，学生却坚持“本来就是重合的，又为何要去验证”的态度. 由此可见，学生在具备数学基本结论的基础上仍旧会对操作验证的必要性持质疑的态度，没有数学思考的实验操作对于学生学习兴趣的激发、数学思维的发展都不能产生积极的意义.

事实上，若学生作三角形没有误差，就一定会得到两个能够重合的三角形，从数的角度对两个三角形全等的条件进行刻画即能解释三角形解的唯一性.

已知三角形两角一夹边，即∠A，∠B，以及c边的长，由正弦定理 =  = 可知三角形的解唯一. 如图1，已知b、c、∠A，由余弦定理可得a2=b2+c2-2bc·cosA，可求得a的唯一值，由余弦定理可得cosB=，由此确定∠B的大小并随之确定∠C的大小.

已知三边时，由余弦定理可得cosA=，可确定∠A的大小，同理确定∠B、∠C的大小.

有些学生往往会认为SSA条件下的三角形也全等，教师面对学生的这一错误认知应在教学中融入数学思考，使学生能够在感受三角形解的唯一性这一基本事实中进行直观分析并获得结论的合理性[1].

数学实验中的思考教师在教学中可以设计如下问题串并启发学生思考.

（1）作图前引导学生猜想：“请大家用量角器、刻度尺作△ABC，使其满足AB=70 mm，∠A=60°，∠B=80°. 请大家将△ABC剪下并与同桌的三角形叠放于一起，这是我们即将要进行的数学活动，活动之前请大家先猜一猜这两个三角形是否能够重合呢？”

设计意图  引导学生猜想两三角形是否重合能使学生对满足条件的三角形解的唯一性、三角形稳定性等知识进行思考，学生进行积极思考的过程往往能对三角形解的唯一性获得认同.

（2）引导学生作图后进行观察：“由条件可画出哪几种符合条件的三角形呢？大家将作出的三角形剪下并与同桌的三角形叠放于一起并观察这两个三角形的形状、大小方面的情况吧. ”

设计意图  引导学生在数学猜想和作图后进行观察能使学生的几何直观能力获得发展.

（3）引导学生在叠放三角形后进行反思：为什么会有同学的两个三角形无法重合呢？

设计意图  引导学生认识实验误差对数学结论的影响并培养学生实践操作的规范与严谨.

（4）一般化动态演示：利用几何画板演示三角形边、角大小的改变，引导学生对两角一夹边分别相等的三角形是否全等进行观察.

设计意图  引导学生在动态演示的直观观察中发展几何直观能力并对三角形全等的条件进行认知与感悟.

学生在上述数学实验与思考中往往会对结论及结论的产生形成积极的思考，对基本事实正确性、合理性的理解也会因此逐渐形成.

作图中的思考

学生在已有学习经验的影响下往往会联想作图操作这一方式进行验证，教师应引导学生在作图验证的基础上进行思维过程的整理，引导学生适当改变作图的顺序并因此令复杂的作图变得简洁[2].

探究“满足两边一对角条件的三角形是否全等”时进行类似思考. 如作出△ABC，使得AB=4 cm，BC=3 cm，∠A=30°.

若学生根据条件先作AB，再作BC，便会很快发现C点位置不确定并导致作图中必须调整凑出30°角. 若调整作图顺序并先作∠A，再作AB和BC，作图过程随即变得简单很多. 不仅如此，学生很快会发现如图2所示的符合条件的有两个三角形，继而获得“满足两边一对角条件的三角形不一定全等”这一结论.

教师在学生作图之前可适当进行启发：“边和角哪个先画能够更加容易作出符合题意的三角形？可还有其他方法可以作出？”引導学生在作图中进行思考并分清几何图形中确定的几何元素和不确定的几何元素，∠A的大小在上述几何作图中是确定的，AB，BC也是确定的，但∠ABC不确定，启发学生在理性思考中对作图顺序进行调整并最终令作图过程更为简单.

图形观察后的数学思考教师在一般三角形全等、直角三角形全等的判定教学之后，可设计如下问题.

问题1：如图3，△ABC、△DEF均为锐角三角形，∠A=∠D，AB=DE，BC=EF，则△ABC和△DEF全等吗？为什么？

学生在直观观察中很快能够发现这两个三角形全等，不过，几何直观的说服力并不客观，演绎推理还是必需的，但关于锐角三角形SSA的判定在三角形全等的判定方法中并没有描述，因此，教师在学生直观发现三角形全等之后还应启发学生进行更加深刻的思考.

简析  过点B作BH⊥AC于点H，过点E作EG⊥DF，垂足为点G（如图4）. 根据已知条件，可证明△ABH≌△DEG，可得BH=EG，继而证得△BHC≌△EGF，从而得出∠C=∠F，由AAS定理可证△ABC≌△DEF.

问题2：如图5，△ABC与△DEF中，∠A=∠D>90°，AB=DE，BC=EF，求证：△ABC≌△DEF.

简析  过点B作BH垂直CA的延长线于点H，过点E作EG垂直FD的延长线于点G，（如图6）. 与问题1的证明方法相似，首先证明△AHB≌△DGE，可得BH=EG，再证明△CHB≌△FGE，从而证得∠C=∠F，由AAS判定定理可证得△ABC≌△DEF.

笔者设计这两个问题之时，学生已经系统地学完了三角形全等的判定. 引导学生对“边边角”的判定是否能够成立进行有意义的探究，能使学生在这一知识点上的认知得以不断加深. 学生在特殊例子的探究中首先明确了满足两边一对角的两个三角形并不一定全等，系统建立判断三角形全等的相关知识之后对“边边角”问题再次展开深入的研究，对“一定成立”背后的理由进行探寻，能使学生思维的深刻性在严格的推理论证中获得很好的发展.

数学地思考问题、解决问题这一思维活动的形式应该与数学操作相融合，只有这样，学生的感性经验才能在数学思维的活动中顺利上升为理性认识，学生也才能在操作经验升华为思维经验的过程中获得数学活动经验的积累和数学思维能力的发展[3]. 学生在判断三角形全等时所产生的质疑对于教师也是一种提醒，教师应能抓住契机并为学生创造数学思考的机会以达成数学实验与数学形式的和谐统一.

参考文献：

[1]蔡凤. 浅谈例题设计的“变之道”[J]. 中国数学教育，2011（17）：11-13.

[2]李海东. 重视数学思想方法的教学——“中学数学核心概念、思想方法结构体系及其教学设计的理论与实践”初中第六次课题会议成果综述[J]. 中国数学教育，2011（z1）：11-13.

[3]周俊，郭其俊.课堂教学究竟应该关注什么？——北美课堂给我们的启示[J]. 中学数学教学参考，2014（34）：67-68.