《平行四边形的面积》教材比较研究

黄兴梅

[摘 要]

以人教版、苏教版、北师大版教材为例，从导入方式、公式推导、习题选编三个方面出发，对小学数学五年级上册《平行四边形的面积》一课的编排情况展开对比分析。同时，基于分析结果，建议一线教师在实际教学过程中，能充分利用错误资源、灵活渗透转化思想、优化使用教材习题。

[关键词]

小学数学；平行四边形的面积；教材比较

《平行四边形的面积》是小学数学“图形与几何”领域中重要的内容范畴，为小学生后续学习三角形、梯形及组合图形的面积奠定基础，进一步而言，它也是渗透数学思想、发展学生空间观念、推理能力的生长点。而教材作为学生进行数学学习活动的范本，是教师实施数学教学的参考指南。由此，本研究就我国现行小学数学教材中使用范围最广的人教版、苏教版、北师大版为例，对《平行四边形的面积》这一内容的教材编排情况进行对比，探寻其共性与差异，以期为一线教师深度解读教材、开展教学活动提供参考。

一、不同版本教材内容编排的对比分析

关于平行四边形的面积，《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）在第二学段的课程内容中作出如下要求“探索、掌握平行四边形的面积公式，并能解决简单的实际问题”。依据此《标准》，人教版、苏教版、北师大版都将《平行四边形的面积》的学习安排在五年级上册，大体设计流程都是按照“学习导入——公式推导——练习巩固”环节展开，均强调数学与生活的密切联系，注重转化思想的渗透，但在具体内容的编排上又不尽相同、各有千秋。

表1 三个版本教材《平行四边形的面积》内容编排比较

[版本 内容编排 人教版 （1）创设“比较长方形花坛与平行四边形花坛大小”的情境

（2）利用数方格的方法求面积

（3）动手剪拼，将平行四边形转化成长方形，再求其面积

（4）观察比较平行四边形与转化后的长方形，发现等量关系，概括面积公式

（5）综合运用平行四边形的面积公式解决问题 苏教版 （1）运用分割、平移的方法，比较方格纸上的两个图形面积是否相等

（2）将方格纸上的平行四边形转化成长方形

（3）利用教材附页所提供的平行四边形学具，再次将平行四边形转化成长方形，并填写“转化成的长方形的长、宽、面积”及“平行四边形的底、高、面积”信息

（4）讨论平行四边形与转化后的长方形之间的内在联系，概括出面积公式

（5）综合运用平行四边形的面积公式解决问题 北师大版 （1）创设“给公园的平行四边形空地铺草坪”的情境

（2）对平行四边形的面积求法作出猜想：两个邻边长度的乘积

（3）利用数方格纸的方式验证猜想

（4）运用割补法将平行四边形转化成长方形

（5）探究平行四边形与转化后的长方形的等量关系，推导出面积公式

（6）综合运用平行四边形的面积公式解决问题 ]

（一）导入方式的比较

对于《平行四边形的面积》引入部分，三个版本的教材主要采用了两种不同的导入方式：一种是“情境导入”，即从学生的现实生活出发创设相应情境，引出平行四边形面积的探索活动；另一种是“转化导入”，即让学生初步体验“割补转化”在图形面积探究活动中的应用，从而将研究对象锁定于平行四边形。

表2 三个版本教材《平行四边形的面积》导入方式比较

[版本 情境導入 转化导入 人教版 √ 苏教版 √ 北师大版 √ √ ]

其中人教版教材创设了一个比较“长方形花坛”与“平行四边形花坛”大小的情境。学生在解决问题的过程中，能够利用之前掌握的长方形面积公式求其面积，但对于平行四边形花坛，学生遇到了障碍，由此引发关于平行四边形面积学习的必要性。

苏教版教材设计了一个让学生比较方格纸上的两个图形面积是否相等的活动，旨在引导学生体会：复杂图形可以通过分割、平移后转化成简单图形，转化前后图形的形状虽然发生改变，但面积大小不变。在学生积累了一定的转化经验的基础上，要求学生将画在方格纸上的平行四边形转化成长方形。

北师大版教材同时采用了转化导入与情境导入两种方式，一方面，不同于苏教版，北师大版针对“割补转化”这一前导知识，专门将其编排成独立的一课——《比较图形的面积》；另一方面，与人教版的“比较情境”不同，为了引出平行四边形面积的探索活动，北师大版教材创设的是“给公园的平行四边形空地铺草坪”的情境。

关于情境创设，笔者认为，人教版的“比较情境”非常值得提倡，学生在解决实际问题的过程中，发现已有的知识基础无法解决当前问题，能充分激发学生的学习动机；更值得一提的是，这节课的学习最为关键的是将平行四边形转化为已经学过的长方形，从而使问题迎刃而解，显然人教版的导入在引入新课的同时，又复习了长方形的面积公式，无形当中给学生一个隐性的启发提示，降低学习的困难。此外，《平行四边形的面积》一课重点强调转化策略的应用，苏教版和北师大版的转化导入，非常符合《标准》所倡导的理念“关注数学活动经验，感悟数学思想”。学生在不断经历、体验转化活动的过程中，积累数学活动经验，进而逐步感悟转化思想的必要性与重要性。

（二）公式推导的比较

1.相同点

三个版本的教材都非常重视平行四边形面积公式的推导过程。在探究程序上，都让学生经历了“作出猜想——验证结论”的学习过程，充分感受数学的严谨性；在探究方法上，都让学生体验方格纸与割补法在面积探索活动中的应用，注重学习方法的多元化。

2.不同点

（1）提出的猜想不同

三个版本教材对如何计算平行四边形的面积作出了两种不同的猜想：一种是正确的猜想，即“平行四边形的面积等于底乘高”；另一种是错误的猜想，即“平行四边形的面积等于邻边长度的乘积”。

人教版与苏教版教材都力图引导学生提出正确的猜想，让学生通过表格的形式记录下平行四边形的底、高、面积及长方形的长、宽、面积，再通过观察表格中的等量关系，提出正确的猜想。不过二者在特殊长方形素材的提供方式上有所不同，人教版是编写人员事先将这个“转化后的长方形”当作“要比较大小的另一个长方形花坛”的形式直接提供给学生；苏教版的长方形是学生根据自己的转化经验通过分割、移补得来的。

北师大版教材则充分考虑学生的认知基础，认为学生可能会因为长方形面积公式的负迁移，而提出错误的猜想。也就是学生可能会因为长方形与平行四边形同属于四边形，导致自然地联想平行四边形的面积也相类似，可以用邻边长度的乘积来计算。

笔者认为北师大版教材对于猜想的处理方式是非常值得关注的，一方面，这种错误猜想贴合学生的认知起点，体现学生思维的合理性；另一方面，通过错误猜想的推翻，学生能够懂得合情推理所得结论的不确定性，从而更加明确检验的必要性。

（2）方格纸的使用不同

三个版本的教材在不同程度上都使用了方格纸，但在具体细节上略有差别：北师大版与人教版教材都设计了借助方格纸来数平行四边形面积的环节，不过人教版在指导学生数方格的时候，用了一句提示语“一个方格代表1㎡，不满一格的都按半格计算”。不同与前二者，苏教版仅在转化导入环节，用数方格的方法比较两个多边形图形的面积大小，而对于平行四边形的面积，虽然教材有将其置于方格纸的背景下，但提示语内容“你能把右边的平行四边形转化成长方形吗”，却旨在引导学生应用割补转化的经验，没有提示要利用方格纸数出平行四边形的面积。

笔者认为，单位面积度量法是计算面积最基本的方法，而数方格的实质正是数单位面积，因此，借助方格纸数平行四边形的面积是必要的。但由于平行四边形的特殊性，导致在数方格的时候，出现了不满一格的情况。人教版“不满一格按半格计算”的处理想必也是精心设计的，因为学生按照这样的估算前提，正好能得到平行四边形的面积与长方形的面积相等的结论，这无疑为学生接下来的正确猜想搭建了理想的平台。但这样的处理方式是有待商榷的，因为学生转化意识的萌生其实正是源于直观的数方格，学生在数方格的过程中，发现不满一格，于是便产生割补凑整的想法，而“不满一格按半格计算”的提示无形中扼杀了学生转化思想萌发的源头。

（3）割补方案的呈现不同

将平行四边形转化成长方形的割补方案有很多，三个版本教材对割补情况的呈现有所不同。

表3 三个版本教材《平行四边形的面积》所呈现的割补方案的比较

[版本 呈现的割补方案 人教版 苏教版 北师大版 ]

总的来说，人教版和苏教版呈现了两种不同的割补方案：一种是将平行四边形分割成一个三角形和一个直角梯形；另一种是将平行四边形分割成两个直角梯形。不过通过表3我们可以发现，人教版侧重让学生关注第一种方案，而对于第二种方案，只借助学生动手剪拼的主题图有所呈现，不是很显眼。更值得一提的是，苏教版教材还引导学生进一步思考：以上两种转化方法有什么相同的地方？从而理解沿着高进行分割，是实现转化的关键条件，因为只有沿着平行四边形的高分割图形，才能使得转化后的图形有四个直角，符合长方形的特征。相比之下，北师大版教材对割补方案的呈现就略显单一，对学生割补情况的预设不够全面。

（4）等量关系的分析角度不同

对于平行四边形与长方形的等量关系分析方面，人教版与北师大版教材侧重发展学生的空间观念，所以以上两个版本教材主要借助几何直观，引导学生从图形的角度，来探究转化前后两个图形间的等量关系。而苏教版教材是通过表格的形式，指导学生在经历动手操作后，记录下转化后长方形的长、宽、面积以及平行四边形的底、高、面积，使得学生便于从数量的角度，体会图形转化前后在长度与面积上的对应联系。

前者是借助几何直观的形式，旨在让学生从图形表征的层面，探寻复杂的等量关系，后者是对数据展开分析比较，利用代数的算法优势，将几何问题代数化。两种方式侧重不同，而倘若能够将两种分析方式相结合，想必更有利于促进学生理解转化前后图形间的等量关系。

（三）习题选编的比较

本文研究的习题包括新课中的例题及与“平行四边形的面积”相关的课后练习。根据习题的功能，笔者将其大致分为三类：第一，基础性习题。难度较低，旨在巩固单个新知识点，一步运算即可完成；第二，综合性习题。有一定的灵活性，强调综合运用新旧知识，需要进行两步及以上的运算；第三，探究性习题。思考性较强，目的在于探究并发现一些数学规律。

1.习题数量上的比较

根据上述分类，笔者对三个版本教材的习题进行整理归纳，需要提前说明的是，为了便于统计，如若是一题多问算作一题，如若是一题中含有多个小题，则题量按照小题的题数予以记录。

表4 三个版本教材《平行四边形的面积》习题数量比较

[版本 基础性习题数量 综合性习题数量 探究性习题数量 总计 人教版 6 4 2 12 苏教版 3 3 2 8 北师大版 7 3 3 13 ]

通过表格数据，我们可以发现，在习题总量上，人教版与北师大版数量相当，而苏教版相对较少，原因可能在于苏教版将平行四边形面积与三角形面积的课后习题整合起来编排，导致与另外两个版本教材的习题数量上存在一定差距。就具體各个类型习题的数量分布而言，三个版本教材都较为注重习题设计的层次性，对于三种不同类型的习题皆有涉及；不过人教版与北师大版都比较重视对基础性习题的编排，而苏教版教材在三种不同类型习题的题量安排上相对均衡。

2.习题内容上的比较

（1）基础性习题

三个版本教材都设计了直接利用平行四边形的面积公式进行计算的题目。有的是结合生活情境，已知平行四边形物体的底和高，求面积；有的是呈现平行四边形的直观图形，标出底和高的数据，求面积；还有的是仅出示平行四边形的直观图形，没有画出高，也没有提供任何数据，旨在让学生自己动手量出求面积所需要的数据。

其中，还应特别指出的是，人教版与北师大版的基础性习题除了上述三种形式以外，还做了一些变形，例如：已知平行四边形的面积与底，求高；在平行四边形的直观图形上，同时标出两组底和高的数值。前者考查公式的逆运算，学生可以依据乘除法的互逆关系灵活运用公式，也可以采取列方程来求解；后者考查学生对底和高对应关系的认识。笔者认为这样的处理是值得提倡的，既关注到学生学习可能存在的盲区、易错点，又能避免过分单一的题量训练，显示出一定的层次性。

（2）综合性习题

三个版本教材的综合性习题主要考查学生：①在利用平行四边形面积公式基础上，结合“单位量×数量=总量”关系式解决问题；②将平行四边形的面积与长方形、正方形等几何图形的有关知识相联系。此外，人教版教材还特别编排了一道求方格纸中的平行四边形面积与三角形面积的习题，让学生在数三角形面积的同时，初步感知二者的联系，为三角形面积公式的推导埋下伏笔。

（3）探究性习题

三个版本教材的探究性习题都涉及到探索平行四边形面积的性质，无论是计算、分析几个同底等高的平行四边形的面积，还是在方格纸上画几个等底等高的平行四边形，都旨在渗透平行四边形等积变形的规律。另外，人教版與苏教版教材还希望学生通过探索，理解“将长方形框架拉成平行四边形后，周长不变，面积变小”。总之，教材在设计这类习题时，都极其重视发展学生的归纳能力、推理能力，让学生充分体会数学的思维方式。

二、教学启示

通过教材的横向比较，可以发现不同版本教材的设计思路大体相似，但在具体导入方式、作出的猜想、方格纸的使用、割补方案的呈现、等量关系的分析、习题的编排上，又存在细微的差异。由此，笔者立足于上述教材比较的发现，对《平行四边形的面积》一课的教学提出三点建议。

（一）充分利用错误资源

学生在学习《平行四边形的面积》一课时，并不是“空着脑袋进教室的”，还携带着已有的知识基础。然而教师基于自身的视角，往往很容易忽视学生由于已有知识经验的负迁移所带来的认知错误。除了北师大版教材所呈现的，学生基于长方形的面积公式，作出“平行四边形的面积等于邻边长度的乘积”错误猜想以外；在提示语“能不能将平行四边形转化成长方形”的引导下，也存在部分学生依据平行四边形不稳定、易变形的性质，将平行四边形通过“拉一拉”的方式，转化为长方形。这些错误是合理的、有价值的，教师应当充分利用错误资源，引导学生在辨析、交流中，逐步化解认知冲突，从而不断培养学生的推理能力以及重复验证的科学态度。

（二）灵活渗透转化思想

教师在教学过程中要让学生充分体会转化思想的精髓，包括转化思想的萌生、转化的目的以及转化的本质。首先，转化思想正是源于数平行四边形面积时，出现了“不满一格”的情况，于是学生将四个不完整的三角形拼成完整的方格，将“不可数”转化为“可数”，这是初始形态的转化；其次，转化的目的在于将“平行四边形的面积”这一新知识，转化为已经学过的长方形的面积，将“陌生”转化为“熟悉”，“未知”转化为“已知”，从而解决问题；最后，还应特别指出的是，将平行四边形转化为长方形的方法有很多，可以是分割成两个直角梯形再移补，或是分割成一个直角梯形和一个三角形再移补，还可以是将平行四边形“拉”成长方形、“切掉”多余的部分变成长方形，而后面两种方法之所以不成立，其本质就在于转化前后图形的面积发生了改变。

（三）优化使用教材习题

数学习题是教材的重要组成部分，更是促进学生有效学习不可或缺的载体之一。虽然小学阶段的以巩固基础知识为主，但过度呆板、机械的重复训练，不仅会增加学生的学习负担，还可能引起学生的消极对待，甚至失去数学学习的兴趣。因此，在教学《平行四边形的面积》一课时，教师要根据习题类型，合理精选、适当改编，以少胜多，突出层次，让不同层面的学生在不同程度的习题中获得不同的发展，感受数学学习的乐趣。

[参 考 文 献]

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]卢江，杨刚主编.义务教育教科书·数学（五年级上册）[M].北京：人民教育出版社，2014.

[3]孙丽谷，王林主编.义务教育教科书·数学（五年级上册）[M].南京：江苏凤凰教育出版社，2015.

[4]胡宇，胡海琴主编.义务教育教科书·数学（五年级上册）[M].北京：北京师范大学出版社，2014.

[5]吴正宪，钟建林.小学数学名师名课经典篇[M].北京：教育科学出版社，2011.

[6]王舒瑶.数形结合思想在小学数学教学中的应用研究[D].西南大学，2015.

[7]黄金荣.小学数学“平行四边形面积”教材教法研究[D].杭州师范大学，2012.

（责任编辑：李雪虹）