数学教学中培养学生几何直观能力实践探索

潘立方

摘要：几何直观是新课程标准的十大核心概念之一，对构建学生整体的几何框架，培养学生的几何能力有着不可替代的作用，但因其“细小”和“简单”教学中往往会被忽视。笔者从几何直观下图形的认识、组建、构建到几何直观下图形的整合和拓展四个步骤来阐述了如何对几何直观从“知”到“构”的培养过程，总结了自己的实践探索过程。

关键词：几何直观能力；构建直观；思维动态建构

几何直观作为新课标的十大核心概念，可以帮助学生直观地认识数学、理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用，但是目前很多教师在几何教学中太重视逻辑推理能力的培养，却忽视了对学生几何直观地培养，甚至有些教师是一笔带过，导致学生的思维更加难以建立本质的直观概念。在学的层面上，在某些图形中学生对几何直观只停留在最基础的层面，看到整体图形的对称性，却忽视了“看图”过程中相关图形的全等性，对图形认识的表征某种属性存在过程性的缺陷，导致过程性几何直观和几何直观思维的难以形成。对此，如何才能在我们的教学中构建对几何直观的能力，笔者有了自己的思考和探索：

1、认图：几何直观下图形的认识

正如裴斯塔洛奇指出那样：“直观是全部认识的基础”，认图是图形感官的第一知觉，学生对图形的认识使他们学习几何图形的基础。那教师如何对学生进行几何直观下图形的认识，笔者认为主要分为以下两种方式：

（1）在图形认识和构建的过程中按技术手段分类，我们可以分为两类：传统作图工具下图形的认识和多媒体等现代化手段下图形的认识。传统的作图工具作图就是运用三角板、刻度尺、圆规等传统工具，按照题目要求作出图形，再辅以不同颜色或阴影等具有区分度的手段，使学生更直观的感受到几何图形的特征。

但是传统的作图工具作图的图形一般都是“静态”的，如何能让图形“动起来”，多媒体等现代化手段应用而生。采用了电子白板、PAD等现代化教学工具，按照题目要求作出图形，比起传统的教学手段，能进行图形动态化的研究，如在学习三类典型函数的过程中，教师往往会告诉学生，按照这样的操作，在某些区域之间你可以选取无数的点然后进行描绘，可以直观地看到得知正比例函数的图像是一条直线，反比例函数是一条曲线等结论，但在板书中特殊点的选取可操作性困难重重。反过来若通过现代技术手段，在多媒体上设计无数点的选取、连接、缩放等操作，便可以直观地展现函数的特征，同样对构建学生平移、旋转、折叠等多种变换型的几何问题，能更加直观，更加形象。

（2）在图形认识和构建的过程中按作图的精确性分类：我们可以大致也可分为两类：标准图和草图。标准图就是按照题意或者原有图形作出相应图形，在作图过程中把基本的几个图形要素再次拼装起来，往往对一些缺失的动态建构几何条件能起到“再现”的效果，从而引导思维的发生。草图即在限定的时间内，或者当题目条件相对简单时，可以按题意作出的图形，但是在这些图形中，对题意的基本几何特征应有所体现，所以草图不草，简洁明了。

2、组图：几何直观下图形的组建

当一幅几何图形呈现出来时，并不是所有图形的元素或者性质都是对题目有效的条件，那如何分析图形基本要素的组建，摈弃无效条件，筛选有效条件在几何直观的构建中就尤为重要。

案例一，如图1等边△ABC内有一点E，连接AE，BE和CE，再以CE为边作等边△DEC，连接AD。已知∠AEB=110°，∠CEB=α°，当△ADE为直角三角形时，求α的值。

一般拿到该题，许多学生会无从下手，思路的构建也较为复杂，但是要求学生去试着画一画该图，就会达到意想不到的效果：

师：如果让你来画这幅图，你觉得可以从那个角度来分析特征量，再作图？

生1：哦，两个等边三角形题意很明显.

师：好，我们先来画这两个等边三角形，那先画哪一个？想想看为什么？

生2：（想了一下）等边△ABC吧，因为按此图可以大致估计出整个图形大小，确定点C，再作等边△DEC.

师：好，我们先作出这两个等边三角形，观察一下是否有新的发现？

学生作图约2分钟（如图2）

生3：我看到了AB=BC=CA，∠A=∠B=∠ACB=60°，另一等边三角形也是

师：如果我们不把两个三角形重叠在一起这些性质也存在的啊。这两个三角形一部分重叠，又会有什么新的结论呢？

生4：哦，∠BCE=∠DCA类似于同角的余角相等，只是把90°变成了60°.

生5：我还发现△BCE≌ACD，那么∠BEC=∠ADC，问题就好解决了.

此例中，教师通过步步诱导，学生3对图形直观的认知还停留在第一层次：未进行组合、推理，只是把基本图形形状性质的直接表述；学生2对图形能整体把握，估算图形的具体大小，也是直观能力的侧面体现；学生4对图形直观的认知在第二层次，能在组合图形中对基本要素角和边能进行适当的推理，并类比出相关知识；学生5已经能综合1、2层次的结论，从而能推理出该题第一步的解决方案。教师的作图要求和层层设计提问，把学生认识几何直观的认识反馈都“串联”在了一起，慢慢的组建了学生对几何直观的不同梯度认知。

3、构图：几何直观下图形的构建

直观既是抽象思维问题的信息源，又是途径信息源，如果能巧妙的利用几何直观，将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，学生便更容易接受和理解。尤其是近几年核心素养的提出，几何直观的要求的增强，对学生作图能力的要求有了很大的提升，所以帮助学生如何构图，是一个亟待解决的新问题。

常态下，笔者认为图形的构建主要分以下三类进行思考：

（1）按图作图：图形从静止到运动

在无特殊条件的情况下，图形的呈现都是以静态为主，在教学过程中可以引导让学生自己绘制标准图（如上述案例一），学生在自己作图的过程中，层次性思维构建出了先作什么，再作什么，把一幅静止的平面图形，动态结构性的出现在认知之中；亦或在动点问题中，按照参考图作出图形运动到特殊位置时的图像，以便达到更好的直观性的呈現。

（2）按題作图：图形从抽象到形象

“题”是“图”的文字和数字的抽象呈现；“图”是“题”的直观数量和位置表形象表达。往往构建的程序按以下流程进行：

理解题意→分析题中所需作图形的几个要素概念→按照图形要素条件作出草图→题目和图形是否对应的再次检验→思考按照题意或者图形的位置特征是否需要分类→必要时作出标准图

案例二：点A，B，C都在半径为 的圆上，直线AD⊥直线BC，垂足为D，直线BE⊥直线AC，垂足为E，直线AD与BE相交于点H，若 ，则∠ABC所对的弧长等于（长度单位）.

通读此题，我们会发现此题为几何背景下的无图题，这就需要我们将相对抽象的思考对象“图形化”，以作图、识图来理解题意，探求解题思路。以几何问题中的位置条件和数量条件为抓手，用位置关系来确定分类标准定类，用数量条件来约束图形多样性，缩小范围，再根据所画图形直观，结合位置和数量关系进行探索转化。此思路也可在几何教学中较多运用。这整个思维的过程，就是“几何直观”核心概念的本质体现。

（3）按物构图：从现象到本质

我们可以让学生从丰富多样的现实具体问题（图形）中，抽象出类似的几何图形，通过研究图形的数量和位置关系，从而解决实际的几何问题，其过程如下：

如浙教版八年级上册2.7节探索勾股定理的例二，求一个物体中两个孔洞AB间的距离，解决问题的关键就是能构造出以AB为斜边的直角三角形，看到了这个直观图形的话，就可以用勾股定理来解决问题了，所以解决实际物体的位置关系时要通过给实际物体“定定位”、“找找形”、“构构图”，体现建立基本数学图形模型这一核心本质。

（4）按知构图：图形从平面到立体

几何直观中的空间观念是对一个人周围环境和实物的直接感知，是周围三维空间在认知上的构建，所以它的形成必然是从低维度到高维度循序渐进式地构建的。初中数学的教材内容编排中很好的体现了这个过程：如七年级中数轴是一维线性的几何直观；八年级中的平面直角坐标系是二维面性的几何直观；九年级中的投影和立体图形的是三维空间的几何直观的，所以在教与学的过程中，应很好的感悟并实施这类直观思维的螺旋上升。

4、整图：几何直观下图形的整合和拓展

（1）整合几何直观中的典型错误构图：

①概念混淆型：对相同或者相似的概念混淆下作图或者是把一个图形的性质和判定混淆了，如需作角平分线的，却作成了中垂线。

②作图不完整型：对图形的认知和理解不到位，作图时往往会缺失某个细节，如做中垂线上下缺一个点（未理解两点确定一条直线）；忘记标记所要标记的点（影响了下一步的推导或阐述）等等。

③理解不透彻型：对某些概念理解不到位所产生的错误，如添加一个条件使两个三角形全等，有些同学就添了图形直观中的隐藏条件（公共角、公共边等），亦如要作要上的高与另一腰的夹角，理解成与底边的夹角或者未进行高的位置分类讨论等.

④“眼见为实”型：缺乏对特征量的条件或者逻辑剖析，以错误的直观数据关系或者位置关系替代了逻辑说理过程。

（2）提取几何直观中图形的组合

万变不离其宗，虽然有形形色色的题目和图形的构建，但是他们的本质是不会变化的：如边、角某些特定组合的性质：四边形问题的本质看成三角形的性质与判定；角平分线和平行线会构成等腰三角形模型；一线三直角或者一线三等角组合模型中会出现相似三角形（全等三角形）等，在教学过程中，应当学会理解、归纳并有意识的强化对基本图形的认识和运用，不断用这些基本图形去发现、理解我们的学校过程，应该会成为教学中的亮点。

（3）建立动态化的几何直观意识

图形的研究不仅仅是静态的，平移、旋转、轴对称、中心对称变换都可以使之达到动态效果。如等边三角形和120°的等腰三角形均可以看成是含30°的直角三角形的轴对称变换后的组合图形；又如平行四边形是一个中心对称图形，这是一个刚性的、静态的图形，但是也可理解为围绕中心旋转180°，去认识、理解、记忆平行四边形的其他性质，也不失为一种好的方法。

（4）构建类比中的几何直观

类比思想是一种极其重要的数学思想，几何图形中的类比也比比皆是，如当两个有公共顶点60°的角一部分重叠在一起，那余下部分就相等了就是类比同角的余角相等这一性质而直观推理得到的；再如三角形研究到特殊三角形的研究：三角形主要研究边、角的基本性质和高、中线、角平分线等其他性质，到了特殊三角形时，类比研究仍旧是边、角的基本性质和高、中线、角平分线等其他性质，只是当条件强化时，对应的性质也适当特殊化了。这个从课程结构上的类比认识和构建对应的几何直观，能大大提升教与学的“格局”。

（5）“栽培”生长式的几何直观树

几何直观的认识不是一蹴而就的，是随着学生学习知识点增加和学习能力的增长而慢慢“生枝长叶”的，亦如此树：

所以只有增长式、渐变式地看待我们的教学，理解和把握学生几何直观的构建，像园丁一样“栽培”学生的思维构建，才能让思维之树经得起“风吹雨打”，最终开花结果。

抽象的数学语言与直观的图形语言的结合，第一步就需要凭借几何直观图形的直观性，发现数学图形对象的几何直观是我们理解该类问题的第一部分，所以我们要把眼光从“知其然”到“知其所以然”，再要到“何由以知其所以然”的跨越，只有明白了这些问题，才能使学生在独立面对一个数学对象时知道从哪里下手研究性质，才能使学生自主探究，才能使发现问题、提出问题的能力的培养落在实处。

参考文献

[1]《义务教育初中数学教材》 浙江教育出版社 2011年版

[2]《核心素养导向的数学教学变革》讲稿 人民教育出版社 章建跃 2018.03

[3]《义务教育数学课程标准》2011年版 人民教育出版社 2011年版

[4]《义务教育数学课程标准（2011年版）解读 》北京师范大学出版社 教育部基础教育课程教材专家工作委员会编写 2015年7月第16次版

（作者单位：浙江省杭州市萧山区宁围街道万向初中）