浅谈如何培养中学生的几何直观能力

摘 要：发展几何直观能力是时代发展的需要，从数学的角度来看数与形不分离，抽象的数量关系从图形的角度可以得到完美的解释。学生学习数学的过程中，应学会用图形交流，用图形描述问题、解决问题的思维习惯。几何直观的能力是以上这些的综合体。这就要求老师增强发展学生几何直观的意识，将这一目标渗透到日常的教学中，以图形示范、识图作图、数形结合、变式训练，促进学生几何直观能力的发展。

关键词：几何直观；图形示范；识图作图；数形结合；变式训练

一、 对几何直观的理解

我们的学生从学校走上社会，服务于某个行业，有竞争有压力。怎样适应社会的变化，学生创造思维至关重要。在教学过程中，让他们具备发现问题、解决问题的能力以及开拓创新的精神是未来年青一代要应对并胜任现代社会生活的需要。

在数学教学中几何不仅能够培养学生的逻辑思维能力，更重要的是能够发展学生的形象思维能力。

几何直观能力是这两种能力的综合体，在抽象的文字下，尤其需要图形的直观形象，这里充满智慧的结晶，从这一点上看，重视学生几何直观能力的培养已经超越了学生的数学学习，意义重大，远远大于对几何图形本身学习的范围。

新课标（2011）里，明确对几何直观做出解释，对学生几何直观的发展提出目标。几何直观的培养成为一个热门的话题，一线教师深刻体会到落实新课程精神，关注学生几何直观能力的发展，并且落实到每一节课的教学当中。

几何直观能力在于学生能不能应用图形，把复杂变为简单，从直观的几何图形中寻求解题思路。这一能力的发展，我认为应从数学语言入手，通过识图、作图能力等能力培养，全力促进学生几何直观能力的发展。

二、 初中生在几何直观方面存在的问题

中学阶段，每个学生几何直观能力的高低，更多地体现在能否用图形表示问题，能否懂得用图形分析问题，解决问题。这是一种思维习惯，只是有些学生还没有这样的习惯，有待老师的培养。学生的几何直观能力表现出以下问题：

1. 数与式、图形与几何这两块知识在学生的心里有了领域之分，不能有机整合。

2. 学生学习数学时对数学定义、定理的掌握只停留在字面上的描述，以至于对符号语言、图形语言根本没放在心上。学生看到数学对象的文字描述时，无法自然地用图形表示。

3. 学生数学基本结构的积累少，当遇到知识的直接应用的题目时，尚可应付，但是一旦遇到综合题时，就不能抽象出基本结构，理不清数量关系、几何关系，不会构图，做不出辅助线，最终无法解决問题。

三、 如何培养学生几何直观能力

（一） 图形示范，感知几何直观的价值，乐于借助几何直观

在几何定义教学时，初中阶段学生在已有的知识经历中对某些几何定义已经有了初步的认识，学生从直观的角度并不陌生。但是如何从量的角度去衡量它，却是要求每个学生必须抓住事物本质，进行仔细辨析。本质来自物体共性的归纳，用看得到的实物做数学概念的引入，让学生在直观中观察、探究，学生更容易理解数学知识的核心。

例如：讲授旋转时，引用荡秋千、风车、电风扇，总结旋转的三要素；讲授等腰三角形时，引用埃菲尔铁塔、长江大桥、金字塔、建筑物建立等腰三角形的几何特征；用正方体搭建立体图形，感受三视图视线角度的不同带来图形的变化；用多媒体技术进行演示，还原图形的产生过程，这样，可以使学生的几何直观能力得到进一步的发展。

几何直观在学习图形与几何、数与代数等领域的内容时都会运用到，具有几何直观的意识关系到能否顺利解决“图形与几何”“数与代数”领域的问题。在教学中，教师必须把几何直观作为培养目标，有意识地在恰当的时候进行图形示范，培养借助图形解决问题的习惯，让学生在遇到数学难题时，能主动地想到把数学问题用图形的方法直观形象地呈现出来，清楚地表示出问题情境里的信息，感受到几何直观在解决问题时体现的价值。

（二） 识图、作图能力的培养，提高学生几何图形的表达能力

数学语言，它是数与形，文字和图形互相转换的基础。只有掌握数学语言，在文字、符号、图形三者间灵活互译，才能准确的认识图形，才能构造合理的几何图形，才能有“图”可借，探索解题思路。

首先，教师要准确地使用数学语言。比如，不能把“直径所在的直线是圆的对称轴”说成是“直径是圆的对称轴”，不能把“周角”说成“圆周角”。

其次，要有意识地通过文字、符号、图形语言的互译培养学生使用图形来表达的能力。在数学中纯文字的定理比较抽象，我们可以让学生把文字转换为符号或者图形来表述，促进对知识点的理解（当然该识记的要识记）。比如，从以下三个角度理解角平分线的定义。

（1）从文字的角度描述定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。

（2）从符号语言的角度描述定义：

∵∠AOC=∠BOC

∴OC平分∠AOB

（3）从图形语言的角度描述定义：

最后，鼓励学生多动手实践，从画基本图形开始，逐步提升作图能力。为能直观分析数学对象开辟新方法。

例如，教学这一道纯文字形式呈现的问题：

点P与圆O上某点的最长距离为10，最短距离为8，求圆O的半径。

先阅读题目，后让学生独立思考。有的学生已经动手画图，有的学生光看文字，一下子不能找到方法。因此老师先引导学生借助画图来整理信息，让学生画出两种可能的图形，清楚的表示出题目的信息，再引导学生对示意图形和文字描述进行比较，从而突出示意图简明形象的作用。最后请一个同学总结一下他的解题反思，再次强调画图的意义，让学生在下一次的数学活动中能主动地用图形来表示、分析、解决问题。

（三） 数形结合，助力学生借助几何直观思维方式的养成

借助“形”的直观来分析“数”的规律，可使抽象的代数问题变得形象直观，有利于学生发现规律，找到解题思路，有利于培养学生的创造性思维。

例如，计算1+3+5+7+9+11+…+（2n-1）的值。

让學生通过想象（“1”代表一个小正方形）1+3+5这个式子能是什么样的图形（3×3的正方形），然后让学生用教学课件将不同颜色的小正方形拉到3×3的正方形里，形象直观。如图

接着又追问：如果把正方形拉开，你又能看到什么式子？

引导学生观察图形，发现数和形的结合点，最后找到答案1+3+5+7+9+11+…+（2n-1）=n×n。

借助图形把繁难抽象的代数证明归纳，变为简单，把抽象变得直观，有着启发解题思路的作用。

（四） 变式训练，让学生形成清晰的几何直观模型

几何直观依赖图形。重视习题变式训练，突出此类图形本质特征，学生积累更多的基本图形，更好为几何直观的发展储备图形背景。

基本图形在解决几何综合题中所起的作用是不可缺少的，学生积累越丰富，就越容易把抽象的数学问题转化为直观的表象，更能从总体上把握问题，预测结果。因此应以帮助学生理清关键点，准确把握基本图形的几何特征，发展学生的几何直观。

学生对基本图形的结构特征需要进行辨析、反思、提升，才能灵活运用。

比如，设计勾股定理课后练习时，安排以下题目。

1. 下列说法正确的是（ ）

A. a、b、c是△ABC的三边，则a2+b2=c2

B. a、b、c是Rt△ABC的三边，则a2+b2=c2

C. a、b、c是Rt△ABC的三边且∠A=90°，则a2+b2=c2

D. a、b、c是Rt△ABC的三边且∠C=90°，则a2+b2=c2

2. 如图，Rt△ABC，a=3，b=4，则c= 。

3. 在直角三角形中，已知两边长是3和4，求第三边的长度？

练习题分别从文字的角度辨析勾股定理的含义，从图形的角度建立勾股定理的几何结构，用纯文字的题目，引导学生借助图形考虑分类的需要，进一步加深对定理的理解。

这种围绕着同一个知识点层层递进的训练，让学生经历对易错点的反复辨析，在实践中，强化知识的基本特征，建立了清晰的图形结构，有效促进几何直观的发展。

总之，发展学生的几何直观能力，目的在于培养学生的思维。让学生在思考问题时，能够开辟新通道，借助于图形，能够简单，直观的说明、解决问题。从学生体会到几何直观的价值到有意识的积累几何结构，最终在解决数学问题中应用的各个环节中都离不开老师的引导。数学教师应充分把握教学过程中的每一个细节，为学生几何直观的发展创造更多的条件，促进学生几何直观的渐进发展。

参考文献：

[1]孔凡哲，史宁中.关于几何直观的含义与表现形式？——对《义务教育数学课程标准（2011年版）》的一点认识？[J].课程·教材·教法，2012，32（7）.

[2]刘心怡.初三学生“几何直观”现状的调查研究[D].南京师范大学，2014：8-10.

[3]义务教育数学课程标准：2011版[M].北京师范大学出版社，2012.1.

作者简介：

林龙强，福建省厦门市，福建省厦门市柑岭中学。