把脉导数问题中的十三个易错点

2019-04-24四川蔡勇全

教学考试(高考数学) 2019年2期

关键词：原函数极小值定义域

四川蔡勇全

导数是高中数学的重要内容，也是历年高考考查的热点，还是学生学习中的难点，学生在解决导数问题时，由于对基础知识掌握得不全面或对题意理解得不准确而造成错解的现象屡见不鲜，本文结合实例对这些常见易错点进行剖析，供大家参考.

一、对导数的“定义式”理解不透彻而致错

二、忽视导函数与原函数的关系而致错

【例2】已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的极小值点共有

( )

A.1个 B.2个

C.3个 D.4个

【错解】不妨设图中区间(-2，-1)内的极值点为a，区间(-1，0)内的极值点为b，易知函数f(x)的单调递减区间为(-3，a)，(b，0)，(1，3)，单调递增区间为(a，b)，(0，1)，所以函数f(x)的极小值点为x=a，0，故应选B.

【剖析】对可导原函数及其导函数两者图象之间的关系理解不够深入造成了上述将f(x)与f′(x)的单调性混为一谈的错解，事实上，可导原函数及其导函数两者图象之间有如下关系:①导函数的零点即为原函数的极值点；②导函数值的符号与原函数的单调性之间的关系——原函数看增减，导函数看正负.

【正解】根据f′(x)≥0(f′(x)≤0)可确定函数f(x)的单调区间如下:f(x)的单调递增区间为(-3，-2)与(-1，2)，单调递减区间为(-2，-1)与(2，3)，所以函数f(x)的极小值点为x=-1，故应选A.

三、对复合函数的求导法则理解不到位而致错

【例3】函数y=ln(tan2x)的导数y′=________.

【剖析】错解1机械套用了基本初等函数y=lnx的求导结果.错解2把tan2x当成了基本初等函数，实际上tan2x是复合函数.

四、混淆“过某点的切线”与“在某点处的切线”而致错

【例4】求曲线f(x)=x3-3x2+2x过原点的切线.

【错解】因为f(0)=0，所以原点在曲线f(x)上.易知f′(x)=3x2-6x+2，则所求切线的斜率k=f′(0)=2，故所求切线的方程为y=2x.

【剖析】曲线“在某点处的切线”是指过该点且以该点为切点的切线，从而该点也必须是曲线上的点；“过某点的切线”则不一定以此点为切点，该点也不一定在曲线上，因此所求切线可能不止一条.

【正解】f′(x)=3x2-6x+2，设切线的斜率为k.

当切点是原点时，k=f′(0)=2，则所求切线的方程为y=2x；

五、对“连续”与“可导”的关系理解不清而致错

【例5】函数y=f(x)在x=x0处可导是函数y=f(x)在x=x0处连续的

( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

【错解】要么认为“连续”与“可导”是同一个概念而错选C，要么对可导与连续互为前提时的充分、必要关系理解不清而错选B.

【正解】函数y=f(x)在x=x0处可导是函数y=f(x)在x=x0处连续的充分不必要条件，故应选A.

六、混淆某一点处的导数值与导函数之间的关系而致错

【例6】若函数f(x)=(x+2)log2x，则f′(2)=________.

【错解】因为f(2)=(2+2)log22=4，所以f′(2)=(f(2))′=4′=0.

【剖析】函数f(x)的导数f′(x)可以用(f(x))′表示，它们的含义是一样的，故f′(x)=(f(x))′，但是，函数f(x)在点x=x0处的导数值f′(x0)却不能用(f(x0))′表示，这是由于(f(x0))′代表函数值f(x0)的导数，即常数的导数，当然等于0，因而它们的含义是不一样的，正确的关系是f′(x0)=f′(x)|x=x0.

七、误认为极值只能在导数为0处取得而致错

如果求上述函数的最值，那么应将f(-1)，f(0)，f(1)，f(2)，f(3)中的最大者作为函数f(x)在[-1，3]上的最大值，最小者作为函数f(x)在[-1，3]上的最小值.此外，对于函数极值的认识，仅局限于例7的“剖析”中的三点说明是不够的，为了进一步认识极值，请看下文例8.

八、误认为导函数为0的解一定是极值点而致错

【例8】函数f(x)=(x2-1)3+2的极值点是

( )

A.x=2 B.x=-1

C.x=1,-1或0 D.x=0

【错解】易知f(x)=x6-3x4+3x2+1，令f′(x)=6x5-12x3+6x=0，解得极值点为x=1，x=-1，x=0，故应选C.

【剖析】对于在定义域上的可导函数f(x)，x=x0是f(x)的极值⟺f′(x0)=0且在x0的左右附近区间上的导数值异号.由此可以看出，对任意函数(含可导函数)来说，导数为0处不一定取得极值，比如函数y=x3在x=0处导数为0，但检验发现，在x=0的附近两侧的导数值均为正，即在x=0的附近两侧均单调递增，所以x=0不是极值点.正是由于未对导函数为0的解进行检验，分析其附近两侧的导数值的正负情况，才造成了上述错解.

【正解】f′(x)=6x5-12x3+6x=6x(x+1)2(x-1)2，当x<-1时，f′(x)<0；当-10；当x>1时，f′(x)>0.函数f(x)在区间(-∞，-1)，(-1，0)上均单调递减，在区间(0，1)，(1，+∞)上均单调递增，则x=0为极小值点，x=1与x=-1都不是极值点，故应选D.

九、忽视原函数的定义域而致错

【例9】设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1)，其中a≥-1，试讨论函数f(x)的单调性.

当a=0时，由f′(x)>0解得x<-1，由f′(x)<0解得x>-1；

【剖析】单调性是函数的局部性质，单调区间是函数定义域的子集，求单调区间时应先确定函数的定义域，再来解不等式f′(x)>0或f′(x)<0，这就是定义域优先原则.事实上，所有函数问题的解决都应在定义域背景下进行，上述错解正是忽视了原函数的定义域所致.

十、对函数单调性的充要条件理解不清而致错

十一、混淆“函数在区间D上单调递增(减)”与“函数的单调递增(减)区间是D”而致错

【例11】已知函数f(x)=x3-mx2+2m2-5(m<0)的单调递减区间是(-9，0)，求实数m的值.

【剖析】“函数在区间D上单调递增(减)”与“函数的单调递增(减)区间是D”是两个不同的概念，前者中的区间D不一定是函数的单调递增(减)区间，但一定是单调递增(减)区间的子区间，后者是指函数“在且仅在”区间D单调递增(减).若把题目改为“若函数f(x)=x3-mx2+2m2-5(m<0)在区间(-9，0)上单调递减，求实数m的取值范围.”，那么，上述解法就是正确的，改了之后的题目还可有如下另解: