建筑专业建筑力学课程中弯曲内力的教学方法探讨

徐志军　原方

[摘 要]制订合理的教学方法，使建筑专业学生轻松熟练地计算弯曲内力和绘制内力图尤为重要。课题组基于常用的截面法求弯曲内力，以及利用内力方程绘制弯曲内力图，分析归纳了弯曲内力以及内力图与外力之间的规律，给出了内力的直接求解规则和内力直接绘制规则。该方法可不用截面法简单快速求出内力，以及不用列出内力方程简单快速绘制出内力图。

[关键词]建筑专业；建筑力学；梁的弯曲；弯曲内力；弯曲内力图

[中图分类号] G642 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2019）05-0088-03

为了保证结构设计的安全性，在设计中，考虑结构的受力情况尤为重要。因此，建筑力学课程对于建筑专业的学生来说亦尤为重要[1]。建筑力学课程包括了三大力学的全部内容，即理论力学中的静力学部分，材料力学和结构力学的全部内容。本课程分为两个学期授课，课时量一共为72学时，其中66课时为讲授课，6个学时为实验课。对于建筑专业的学生来说，在72课时内把三大力学内容全部掌握是比较困难的。另外，建筑专业的学生偏向文科，数学学习的是文科数学，数学功底不够扎实，对本课程学习比较吃力。因此，如何在有限的课时内将三大力学的基本知识传授给建筑专业的学生十分重要。

梁颖晶等[2]分析了工程管理专业的建筑力学教学中碰到的困难和挑战，从教学内容和教学方法等方面进行了探索。刘杨[3]将现代化高科技法即三维模型法和建筑力学教学结合在一起，有效地提高了教学效果。韩风霞[4]分析了建筑专业建筑力学课程教学效果不好的原因，结合建筑专业设置特点，从教学内容改革、教学方法改进和学生能力如何提高等方面提出了相应的办法和措施。张秀彦等[5]在研究了建筑专业建筑力学课程在教学中过程中出现的困难基础上，结合建筑专业特点，在提高教学质量、教学方法等方面提出了合理化的方法和措施，并将该方法和措施应用到实际教学中，取得了良好的效果。

以上的研究成果极大地推动了建筑力学课程的教学方法、教学手段、教学内容等方面的改革和完善。在建筑力学中，梁的内力计算和内力图的绘制是材料力学部分最为核心的内容，因此，王兴霞等[6]给出了建筑力学课程中快速计算杆件截面内力的技巧，刘小妹等[7]和缑勇等[8]给出了材料力学中内力图的简便绘制方法。

本文基于常用的截面法求内力和内力方程法绘制内力图，分析了内力和内力图与外力之间的关系，归纳出内力和内力图与控制截面处的外力之间的关系，给出了内力的直接求解方法和内力直接绘制方法。

一、弯曲内力和内力图

根据建筑专业建筑力学的大纲要求，结构和构件的荷载作用方式为集中荷载、集中力偶和均布荷载，为必学内容，其他方式荷载作用为选学内容。对于弯曲变形中内力和内力图部分，要求学生熟练地利用截面法求任意截面上的剪力和弯矩，建立剪力方程和弯矩方程，并根据剪力方程和弯矩方程绘制剪力图、弯矩图。

（一）截面法求内力

梁弯曲变形时在横截面上产生两种内力，即剪力和弯矩。建筑力学教材中给出的利用横截面求剪力和弯矩的做法分为三步：

第一，沿着所求截面将其切开，切开后分为两部分，右侧部分和左侧部分。

第二，取任意部分（左侧或者右侧）作为研究对象计算截面上的内力，进行受力分析。先画外力，即主动力和约束力，然后画内力。由于内力在计算之前无法确定是正值或者负值，为了解题方便，将内力假设为正值，如果计算出的结果为正值，则假设是正确的，如果计算出的结果为负值，则实际内力方向与假设方向相反，该方法称之为“设正法”。

第三，平衡求力，将第二步的剪力、弯矩和外力作为平衡力系，建立平衡力系的平衡方程，求出剪力和弯矩。截面法求内力可简称为“一切、二代和三平衡”。

（二）内力图

为了形象地表示剪力和弯矩沿轴线的变化情况，并确定最大的剪力和弯矩的大小与位置，通常采用图线表示剪力和弯矩的变化情况。用平行于杆轴坐标轴x表示杆件横截面，用垂直于杆轴线的坐标轴分别表示相应截面上的剪力和弯矩的大小。剪力正值画在x轴的上方，负值画在x轴的下方。弯矩图画在受拉一侧。常用的画剪力图和弯矩图的步骤如下：

第一步，建立剪力方程和弯矩方程。从梁的其中一个端截面开始，选择距离该端截面为x处的横截面为研究对象，利用截面法求出該截面上的剪力和弯矩，建立剪力方程和弯矩方程。

第二步，根据剪力方程和弯矩方程，绘制剪力图和弯矩图。

二、利用外力直接求剪力和弯矩及绘制剪力图和弯矩图的规则

梁的内力计算和内力图的绘制需要较为扎实的数学功底。因此，在给建筑专业学生讲授该节课的内容时，找到简单实用的教学方法，让学生在轻松愉快中掌握解题技巧显得尤为重要。

笔者根据多年讲授建筑专业建筑力学课程的经验，对求解梁的弯曲内力及绘制内力图的方法进行总结和归纳，发现了利用外力的性质直接求任意横截面上的内力和利用外力直接绘制内力图的规则。

（一）剪力和弯矩的直接求解规则

“一切、二代和三平衡”是传统常用的截面法求内力的步骤，加上利用静力学知识求解外力，该过程共需要四步。以下给出利用外力直接求剪力和弯矩的规则。

1.求剪力

首先判断正负值：对某截面左边梁段上所有向上的外力，或某截面右边梁段所有向下的外力进行判断，使该截面上产生正剪力，即“左上右下，剪力为正”，否则“左下右上，剪力为负”。

然后求代数和：某截面上剪力[Fs]的大小等于该截面左边（右边）梁段上所有横向外力代数和。

2.弯矩求法

首先判断正负值：某截面左边梁段上外力（力或力偶）对截面形心之矩为顺时针转向，或某截面右边梁段上外力对截面形心之矩为逆时针转向，使该截面上产生正弯矩，即“左顺右逆，弯矩为正”，否则“左逆右顺，弯矩为负”。

然后求代数和：某截面上弯矩M的大小等于该截面左边（右边）梁段上所有外力对该截面形心的矩的代数和。

利用以上规则求剪力和弯矩时，可不再列出平衡方程，而直接根据截面左边或右边梁上的外力来确定梁横截面上的剪力和弯矩。

（二）内力图的直接绘制规则

传统常用的内力图绘制方法为先建立剪力方程和弯矩方程，然后根据方程的性质，利用数学知识绘制出剪力图和弯矩图。笔者根据多年的教学经验，总结得出剪力图和弯矩图的规律如下：

1.当某梁段除端截面外全段不受任何外力作用时，剪力图和弯矩图有如下规律。

（1）该梁段上的剪力方程[Fs（x）]为常量，故梁该梁段的剪力图为水平线。因此，只要确定出该梁段上任意截面上的剪力，就可绘制出该梁段上的剪力图，即剪力图为水平线。

（2）该段上的弯矩方程[M（x）]是x的一次函数，故该段的弯矩图为斜直线。因此，确定出该梁段两个端截面上的弯矩，就可绘制出该梁段上的弯矩图，即弯矩图为斜直线，弯矩图画在受拉一侧。

2.当某梁段除端截面外全段上只受均布荷载作用时，则有：

（1）该段上的剪力方程[Fs（x）]是x的一次函数，故该段的剪力图为斜直线。因此，确定出该梁段两个端截面上的剪力，就可以绘制出该梁段上的剪力图。

（2）该段上的弯矩方程[M（x）]是x的二次函数，故该段的弯矩图为二次曲线。因此，确定出三个截面上的弯矩，即该梁段两个端截面，另外一个截面可任选，笔者建议选用该梁段中间截面，用平滑的曲线将三个横截面的弯矩连在一起，可得到该梁段上的弯矩图，弯矩图画在受拉一侧。

在上面研究的基础上，将每个梁段的剪力图和弯矩图连在一起可得到整个梁的剪力图和弯矩图。该方法不用建立剪力方程和弯矩方程，只要确定梁上的外力情况，就可直接绘制出剪力图和弯矩图。

三、实例分析

如图所示，外伸梁上受到一集中力偶Me = qa2和长度为a的均布荷载q以及两个约束力FA和FB，其他参数见图1。求2-2截面、无限接近支座A的1-1截面和无限接近支座B的3-3截面上的剪力和弯矩，并绘制出其剪力圖和弯矩图。

首先利用静力学知识求得两个支座的约束分离分别为FA=[14qa]，FB=[34qa]，方向为向上。利用截面法求得1-1截面、2-2截面和3-3截面上的内力。

利用本文提出的方法求剪力和弯矩。

对于1-1截面，取左侧梁段。左侧梁段的受外力情况为受一集中力偶大小为qa2，逆时针转动。由于该梁段上不受集中荷载或者均布荷载，根据上文中提出的方法，剪力为0，弯矩大小为qa2；外力Me为逆时针转，在1-1截面上产生负弯矩，则1-1截面上的弯矩为-qa2。计算结果与表1中的一致。

对于2-2截面，取左侧梁段，其受外力情况为Me和FA。根据上文中的计算方法，Me和FA在2-2截面产生的剪力大小分别为0和[14qa]。FA在2-2截面上产生正剪力，则2-2截面上的剪力为0+[14qa]=0.25qa。Me和FA在2-2截面产生的弯矩大小分别为qa2和[14qa]2。正负号分别为“-”和“+”，则2-2截面上的弯矩为-qa2+[14qa]2 =-[34qa]2，计算结果与表1的一致。

对于3-3截面，取右侧梁段，其受外力情况均值荷载q长度为a。根据上文中的计算方法，q在3-3截面产生的剪力大小为qa，为正剪力，则3-3截面上的剪力为qa。q在3-3截面产生的弯矩大小为[12qa]2，为负弯矩，则3-3截面上的弯矩为-[12qa]2，计算结果与表1的一致。

根据梁的受力情况，可将梁分为3段，即CA段、AB段和BD段。由图1可知，除了两个端截面，CA段和AB段中间部分不受任何外力，BD段中间部分受均布荷载。根据上文中的方法，可得出剪力图和弯矩图形状，见表2。

由表2和表3，画出各个梁段上的剪力图和弯矩图，并将其连在一起绘制出剪力图和弯矩图，分别见图2和图3。

四、结论

（1）本文给出了剪力和弯矩直接计算规则，利用该规则可不用对研究两段受力分析和列平衡方程求解，直接根据外力的特点快速准确地计算出剪力和弯矩。

（2）本文给出了梁弯曲的剪力图和弯矩图的规律，结合剪力和弯矩直接计算规则，给出了剪力图和弯矩图的简捷绘制方法。该方法可不建立剪力方程和弯矩方程，利用梁段上外力特点，直接绘制剪力图和弯矩图。

（3）本文提出的方法可用于求其他内力，譬如轴力和扭矩。

[ 参 考 文 献 ]

[1] 李前程.建筑力学（第二版）[M]. 北京：高等教育出版社，2013.

[2] 梁颖晶，张永山，汪大洋，等.工程管理专业建筑力学课程教学实践探索[J]. 大学教育，2016（2）： 88-89.

[3] 刘杨. 三维建模在建筑力学教学中的应用[J]. 中国标准化，2017（2）：130-131.

[4] 韩风霞. 建筑学专业建筑力学课程教学探索[J]. 高等建筑教育，2013（4）：48-50.

[5] 张秀彦，王志涛. 建筑学专业建筑力学教学改革[J]. 河北联合大学学报（社会科学版），2012（3）：84-86.

[6] 王兴霞，黄建文. 《建筑力学》课程中快速计算杆件截面内力的技巧[J]. 教育现代化，2016（1）：156-155.

[7] 刘小妹，梁拥成. 材料力学中基本变形内力图的教学创新[J]. 教育教学论坛，2018（6）：124-125.

[8] 缑勇，裴红艳，秦立平，等. 快速作材料力学内力图的探讨[J]. 湖北理工学院学报，2016（1）：67-70.

[责任编辑：钟 岚]